Vida media y período de semidesintegración

En muchos textos se confunden estos conceptos, probablemente debido a la deficiente traducción de los correspondientes términos en inglés. Trataremos de definirlos correctamente y de efectuar un desarrollo lógico de la relación entre los mismos y otros conceptos que intervienen. 

En principio, dichos conceptos se aplican a cualquier fenómeno en que tengamos una muestra de un número determinado de especímenes con una propiedad característica que decae aleatoriamente con el tiempo. Ello sucede, por ejemplo, con diversos fenómenos relacionados con la mecánica cuántica, como la desintegración de partículas elementales inestables, la emisión de radiación a partir de un átomo radiactivo o el decaimiento de los niveles excitados de un electrón en un átomo. Pero también puede aplicarse a fenómenos de la vida cuotidiana, como la duración de los electrodomésticos, la probabilidad de que se lesione un jugador de un equipo de fútbol durante la temporada o el tiempo que tardará una persona en encontrar pareja. Naturalmente, en los fenómenos cuánticos el azar actúa de manera completamente regular, puesto que cualquier partícula o átomo es completamente idéntico a cualquier otro, mientras que los demás fenómenos están sujetos a una impredictibilidad mayor, derivada de las características individuales. Por tanto, nos limitaremos al caso de la desintegración de una partícula inestable, aunque las definiciones y el tratamiento matemático serán idénticos a los de otros casos. 

Supongamos, pues, que tenemos una muestra inicial de N partículas inestables iguales, por ejemplo, neutrones aislados, mesones, núcleos radiactivos o cualquier otra cosa. En principio, todas las partículas de cada tipo son idénticas; por tanto, la probabilidad de que una cualquiera se desintegre en una unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo) es característica de cada tipo de partícula. Igualmente, el porcentaje de partículas de un tipo determinado que se desintegran en un segundo dependerá sólo del tipo de partícula de que se trate. Resulta imposible predecir cuándo se desintegrará cada partícula concreta, pero a partir de cierta información estadística podremos predecir, partiendo de una muestra determinada, cuántas partículas permanecerán intactas al cabo de cierto tiempo. 

Por ejemplo, supongamos que tenemos 100 partículas inestables iguales, y de ellas se desintegran 5 en un segundo. Podemos decir que, para esta muestra de 100 partículas, la velocidad de desintegración (número de partículas que se desintegran en la unidad de tiempo) es de 5 partículas por segundo. Pero si en lugar de 100 partículas tenemos 100.000, en un segundo se desintegrarán 5.000 partículas, luego la velocidad de desintegración será, en este caso, de 5.000 partículas por segundo. Por tanto, la velocidad de desintegración, así definida, no nos es muy útil, porque depende no sólo del tipo de partícula, sino del número inicial de partículas presentes en la muestra; además, decrecerá conforme vaya disminuyendo el número de partículas. 

Pero fijémonos que, en este caso concreto, el porcentaje de partículas que se desintegran en un segundo sí que es constante y característico de la sustancia: el 5%, de las que había en ese momento. Por tanto, podemos definir, para cada tipo de partículas, una magnitud característica que describa estadísticamente la desintegración de la siguiente forma: supongamos que, en un instante determinado, tenemos N partículas en la muestra; de éstas, sabemos que en un segundo se desintegra un número de partículas, en valor absoluto, ΔN = N · Δt · r / 100, donde Δt = 1 s, y r es el porcentaje de partículas que se desintegran en un segundo (en realidad, ΔN es el número de partículas en que variaría la muestra, tomando como positivo un incremento; como las partículas no aumentan sino que se desintegran, el número de partículas en que varía la muestra es negativo). Este número se puede calcular en el ejemplo anterior: por ejemplo, si N = 100 partículas y Δt = 1 segundo, como sabemos que se desintegra un 5% en cada segundo, será ΔN = –1.000 · 1 · 5 / 100 = –50 partículas. 

A partir de estos datos, podemos definir, para cada tipo de partículas, la constante de desintegración (inglés: decay constant) λ = – (ΔN/N) / Δt = (dN/N) / dt. Si Δt = 1 segundo, ΔN/N es la fracción de átomos que se desintegran en un segundo; por tanto, la constante de desintegración representa la probabilidad de que una partícula determinada de la muestra se desintegre en la unidad de tiempo. 

En el ejemplo citado, será λ = – (–50/1.000) / 1 = 0,05. Observamos, a partir de la definición, que λ tiene dimensiones de s^–1; por tanto, en este caso será λ =  0,05 s^–1. Cada partícula de la muestra tiene una probabilidad igual a 0,05 de desintegrarse en el próximo segundo. 

Observemos que a partir de la definición de λ con incrementos no podemos calcular el número de partículas en que variaría la muestra de N partículas al cabo de un cierto tiempo Δt cualquiera. Por ejemplo, en las partículas del tipo anterior, cuya constante de desintegración es λ =  0,05 s^–1, partiendo de ΔN = – λ · N· Δt, si en un momento dado hay 2.000 partículas, al cabo de 30 segundos obtendríamos que este número habrá variado en ΔN = – 0,05 · 2.000 · 30 = –3.000 partículas; es decir, se habrían desintegrado más partículas que las que había. Este resultado erróneo proviene de considerar que N es constante, y por tanto, ΔN proporcional a Δt, lo cual no es cierto, ya que N disminuye con el tiempo. Precisamente el paso de incrementos a diferenciales en la definición de λ se justifica porque dN = – λ · N· dt sería la aproximación lineal de la variación que experimentaría la función N (número de partículas) en un tiempo dt si dicha función fuese lineal, lo cual se corresponde con el concepto de diferencial; esta aproximación lineal se aproximará al valor real sólo si el tiempo transcurrido dt es pequeño. 

Para calcular correctamente el número de partículas que quedan en la muestra, debemos partir, pues, de la definición de λ con diferenciales escrita en la forma dN/N = – λdt, e integrar ambos miembros entre límites apropiados; por ejemplo, para el origen de tiempos (t = 0), el número de partículas es N₀, mientras que en un momento cualquiera t, el número de partículas es N. Integrando, obtenemos que N = N₀ e^–λt, expresión que nos da el número de partículas que hay en la muestra al cabo de t segundos. 

A partir de esta última expresión ya podemos definir uno de los conceptos que dan título a este escrito: el de período de semidesintegración, llamado también en algunos textos semivida o semiperíodo (inglés: half-life). El período de semidesintegración, T, de una partícula o de una sustancia radiactiva es el tiempo que debe pasar para que una muestra de partículas o de sustancia quede reducida a la mitad. Para calcularlo, debemos tener en cuenta que en el instante t = T ha de ser N = N₀/2; por tanto, será N₀/2 = N₀e^–λT, y simplificando, e^–λT = 1/2. De aquí podemos despejar T tomando logaritmos de ambos miembros de la ecuación, con lo cual resulta que el período de semidesintegración es T = ln 2 / λ, donde ln es el logaritmo neperiano o natural, siendo ln 2 aproximadamente igual a 0,693. Luego T = ln 2 / λ, es decir, el período de semidesintegración es inversamente proporcional a la constante de desintegración, e independiente, por supuesto, del número de partículas que había en un principio. 

En el ejemplo que citábamos antes, con λ =  0,05 s^–1, será aproximadamente T = 0,693 / 0,05 = 14 s. Es decir, si partimos de un número cualquiera de partículas, al cabo de 14 segundos el número de partículas se habrá reducido a la mitad.

Pero, ¿que podemos decir de cada partícula en concreto? Desde luego, como todas las partículas son iguales, no podemos predecir el destino de cada partícula en particular, ni cuánto tardará en desintegrarse. Sabemos cuál es la probabilidad de que se desintegre en el próximo segundo (constante de desintegración) y el tiempo que pasará hasta que el número de partículas se reduzca a la mitad (período de semidesintegración). Pero mientras algunas partículas de la muestra se desintegrarán en una brevísima fracción de segundo, otras durarán un lapso de tiempo enorme, comparable con la edad del universo. 

Sin embargo, podemos calcular algo así como la esperanza de vida de las partículas, o vida media (inglés: mean lifetime), <t>, es decir, la media aritmética de las vidas o duraciones de las partículas de la muestra. Desde luego, en una muestra formada por un gran número de partículas no podemos usar el método normal de calcular medias aritméticas, que consistiría en medir la duración o vida de todas las partículas para dividirla por el número de partículas de la muestra. Para obtener el valor de la vida media, nos valdremos de la ayuda del cálculo integral. Indicaré los pasos esenciales de mi demostración, que he de decir que no he visto en ninguno de los textos de física consultados. 

Para ello, consideraremos el número de partículas N' que se han desintegrado ya en un momento determinado t. Este número es, evidentemente, N' = N₀ – N = N₀ – N₀e^–λt = N₀ (1 – e^–λt). Los valores de función N'(t) se encuentran entre 0 y N₀, pues a los cero segundos no se ha desintegrado ninguna partícula, y cuando t tienda a infinito se desintegrarán los N₀ átomos de la muestra. Podemos tomar ahora la función inversa de ésta, es decir, t(N'), que toma valores entre N' = 0 y N' = N₀, y cuyos recorrido se encuentra entre t = 0 y t = infinito. Dividimos el dominio de t(N') en un conjunto de n pequeños subintervalos ΔN'₁, ΔN'₂, ..., ΔN'_n, y consideramos un valor de la función t(N') en cada uno de los subintervalos; estos valores t₁, t₂, ..., t_n, representan aproximadamente, respectivamente, el tiempo de vida o duración de cada una de las partículas incluidas en el subintervalo respectivo. Si multiplicamos cada t_k por la longitud del correspondiente subintervalo ΔN'_k desde k = 1 a k = n, sumamos todos estos productos y dividimos por el número total de partículas de la muestra N₀, obtendremos una aproximación de la vida media <t> de las partículas de la muestra. Pero si hacemos tender a cero la longitud de los subintervalos, la suma se convertirá en una integral, y obtendremos el valor exacto de la vida media: <t> = 1/N₀ multiplicado por la integral, entre cero y N₀, de t dN'. Esto es precisamente el valor medio de la función t(N') en el intervalo [0, N₀]. 

A partir de N' = N₀ (1 – e^–λt), calculamos dN' = λ N₀ e^–λt dt, y substituyendo, queda que <t> = λ · integral entre cero e infinito, de t e^–λt dt. Esta integral, que representaremos por I, se calcula fácilmente por partes, y resulta ser I = (–1/λ) · e^–λt · (t + 1/λ). Podemos comprobar, por derivación, que d/dt [(–1/λ) · e^–λt · (t + 1/λ)] = t e^–λt.  Claramente se ve que, cuando t tiende a cero, I tiende a –1/λ², y cuando t tiende a infinito, I tiende a cero. Por tanto, el valor de la integral entre los límites de integración citados es igual a 1/λ². Sustituyendo ahora, obtenemos finalmente que <t> = 1/λ. Es decir, el valor de la vida media del conjunto de partículas de la muestra es el inverso de la constante de desintegración. 

Ahora vemos claramente que el período de semidesintegración (o semivida, o semiperíodo), T, del conjunto de partículas (o de la muestra radiactiva) es diferente a la vida media, <t>, de las partículas, y tienen diferente valor. Concretamente, y como vimos que T = ln 2 / λ, siendo ln 2 aproximadamente igual a 0,693, y <t> = 1/λ, la vida media es mayor que el período de semidesintegración. Resulta ser T = ln 2 · <t>. 

Para las partículas inestables de nuestro ejemplo, en que λ = 0,05 s^–1, la vida media de las partículas es <t> = 1 / 0,05 = 20 s. Recordemos que el período de semidesintegración era aproximadamente igual a 14 s.

 

Acabaremos ahora calculando qué fracción del número de partículas iniciales quedará al cabo de <t> segundos. Partiendo de la expresión que nos da el número de átomos que quedan en la muestra en función del tiempo transcurrido, N = N₀ e^–λt, haremos N = xN₀, y t = <t>. Tenemos entonces que xN₀ = N₀ e^–λ<t>, de donde x = e^–λ/λ = e^–1 = 0,37. Es decir, al cabo de <t> segundos (vida media de las partículas) sólo quedará el 37% del número de partículas iniciales, lo cual es coherente con el hecho de que la vida media es mayor que el período de semidesintegración.