En
muchos textos se confunden estos conceptos, probablemente debido a la
deficiente traducción de los correspondientes términos en inglés. Trataremos de
definirlos correctamente y de efectuar un desarrollo lógico de la relación
entre los mismos y otros conceptos que intervienen.
En
principio, dichos conceptos se aplican a cualquier fenómeno en que tengamos una
muestra de un número determinado de especímenes con una propiedad
característica que decae aleatoriamente con el tiempo. Ello sucede, por
ejemplo, con diversos fenómenos relacionados con la mecánica cuántica, como la
desintegración de partículas elementales inestables, la emisión de radiación a
partir de un átomo radiactivo o el decaimiento de los niveles excitados de un
electrón en un átomo. Pero también puede aplicarse a fenómenos de la vida
cuotidiana, como la duración de los electrodomésticos, la probabilidad de que
se lesione un jugador de un equipo de fútbol durante la temporada o el tiempo
que tardará una persona en encontrar pareja. Naturalmente, en los fenómenos
cuánticos el azar actúa de manera completamente regular, puesto que cualquier
partícula o átomo es completamente idéntico a cualquier otro, mientras que los
demás fenómenos están sujetos a una impredictibilidad mayor, derivada de las
características individuales. Por tanto, nos limitaremos al caso de la
desintegración de una partícula inestable, aunque las definiciones y el
tratamiento matemático serán idénticos a los de otros casos.
Supongamos,
pues, que tenemos una muestra inicial de N
partículas inestables iguales, por ejemplo, neutrones aislados, mesones,
núcleos radiactivos o cualquier otra cosa. En principio, todas las partículas
de cada tipo son idénticas; por tanto, la probabilidad de que una cualquiera se
desintegre en una unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo) es característica
de cada tipo de partícula. Igualmente, el porcentaje de partículas de un tipo
determinado que se desintegran en un segundo dependerá sólo del tipo de partícula
de que se trate. Resulta imposible predecir cuándo se desintegrará cada
partícula concreta, pero a partir de cierta información estadística podremos
predecir, partiendo de una muestra determinada, cuántas partículas permanecerán
intactas al cabo de cierto tiempo.
Por
ejemplo, supongamos que tenemos 100 partículas inestables iguales, y de ellas
se desintegran 5 en un segundo. Podemos decir que, para esta muestra de 100
partículas, la velocidad de desintegración (número de partículas que se
desintegran en la unidad de tiempo) es de 5 partículas por segundo. Pero si en
lugar de 100 partículas tenemos 100.000, en un segundo se desintegrarán 5.000
partículas, luego la velocidad de desintegración será, en este caso, de 5.000
partículas por segundo. Por tanto, la velocidad de desintegración, así
definida, no nos es muy útil, porque depende no sólo del tipo de partícula,
sino del número inicial de partículas presentes en la muestra; además,
decrecerá conforme vaya disminuyendo el número de partículas.
Pero
fijémonos que, en este caso concreto, el porcentaje de partículas que se
desintegran en un segundo sí que es constante y característico de la sustancia:
el 5%, de las que había en ese momento. Por tanto, podemos definir, para cada
tipo de partículas, una magnitud característica que describa estadísticamente
la desintegración de la siguiente forma: supongamos que, en un instante
determinado, tenemos N partículas en
la muestra; de éstas, sabemos que en un segundo se desintegra un número de
partículas, en valor absoluto, ΔN = N ·
Δt · r / 100, donde Δt = 1 s, y r es el porcentaje de partículas que se
desintegran en un segundo (en realidad, ΔN
es el número de partículas en que variaría la muestra, tomando como positivo un
incremento; como las partículas no aumentan sino que se desintegran, el número
de partículas en que varía la muestra es negativo). Este número se puede
calcular en el ejemplo anterior: por ejemplo, si N = 100 partículas y Δt =
1 segundo, como sabemos que se desintegra un 5% en cada segundo, será ΔN = –1.000 · 1 · 5 / 100 = –50
partículas.
A
partir de estos datos, podemos definir, para cada tipo de partículas, la constante de desintegración (inglés: decay constant) λ = – (ΔN/N) / Δt = (dN/N) / dt. Si Δt = 1 segundo, ΔN/N es
la fracción de átomos que se desintegran en un segundo; por tanto, la constante
de desintegración representa la probabilidad de que una partícula determinada
de la muestra se desintegre en la unidad de tiempo.
En
el ejemplo citado, será λ = –
(–50/1.000) / 1 = 0,05. Observamos, a partir de la definición, que λ tiene dimensiones de s–1;
por tanto, en este caso será λ = 0,05 s–1. Cada partícula de la
muestra tiene una probabilidad igual a 0,05 de desintegrarse en el próximo
segundo.
Observemos
que a partir de la definición de λ con
incrementos no podemos calcular el número de partículas en que variaría la
muestra de N partículas al cabo de un
cierto tiempo Δt cualquiera. Por
ejemplo, en las partículas del tipo anterior, cuya constante de desintegración
es λ = 0,05 s–1, partiendo de ΔN = – λ · N· Δt, si en un momento dado hay 2.000 partículas, al cabo de 30
segundos obtendríamos que este número habrá variado en ΔN = – 0,05 · 2.000 · 30 = –3.000 partículas; es decir, se habrían
desintegrado más partículas que las que había. Este resultado erróneo proviene
de considerar que N es constante, y
por tanto, ΔN proporcional a Δt, lo cual no es cierto, ya que N disminuye con el tiempo. Precisamente
el paso de incrementos a diferenciales en la definición de λ se justifica porque dN = –
λ · N· dt sería la aproximación
lineal de la variación que experimentaría la función N (número de partículas) en un tiempo dt si dicha función fuese lineal, lo cual se corresponde con el
concepto de diferencial; esta aproximación lineal se aproximará al valor real
sólo si el tiempo transcurrido dt es
pequeño.
Para
calcular correctamente el número de partículas que quedan en la muestra,
debemos partir, pues, de la definición de
λ con diferenciales escrita en la forma dN/N
= – λdt, e integrar ambos miembros entre límites apropiados; por ejemplo,
para el origen de tiempos (t = 0), el
número de partículas es N0,
mientras que en un momento cualquiera t,
el número de partículas es N. Integrando,
obtenemos que N = N0 e–λt,
expresión que nos da el número de partículas que hay en la muestra al cabo de t segundos.
A
partir de esta última expresión ya podemos definir uno de los conceptos que dan
título a este escrito: el de período de
semidesintegración, llamado también en algunos textos semivida o semiperíodo
(inglés: half-life). El período de semidesintegración, T, de una partícula o de una sustancia
radiactiva es el tiempo que debe pasar para que una muestra de partículas o de
sustancia quede reducida a la mitad. Para calcularlo, debemos tener en cuenta
que en el instante t = T ha de ser N = N0/2;
por tanto, será N0/2 = N0e–λT,
y simplificando, e–λT =
1/2. De aquí podemos despejar T
tomando logaritmos de ambos miembros de la ecuación, con lo cual resulta que el
período de semidesintegración es T = ln 2
/ λ, donde ln es el logaritmo
neperiano o natural, siendo ln 2 aproximadamente
igual a 0,693. Luego T = ln 2 / λ, es
decir, el período de semidesintegración es inversamente proporcional a la
constante de desintegración, e independiente, por supuesto, del número de
partículas que había en un principio.
En
el ejemplo que citábamos antes, con λ
= 0,05 s–1, será
aproximadamente T = 0,693 / 0,05 = 14
s. Es decir, si partimos de un número cualquiera de partículas, al cabo de 14
segundos el número de partículas se habrá reducido a la mitad.
Pero,
¿que podemos decir de cada partícula en concreto? Desde luego, como todas las
partículas son iguales, no podemos predecir el destino de cada partícula en
particular, ni cuánto tardará en desintegrarse. Sabemos cuál es la probabilidad
de que se desintegre en el próximo segundo (constante de desintegración) y el
tiempo que pasará hasta que el número de partículas se reduzca a la mitad
(período de semidesintegración). Pero mientras algunas partículas de la muestra
se desintegrarán en una brevísima fracción de segundo, otras durarán un lapso
de tiempo enorme, comparable con la edad del universo.
Sin
embargo, podemos calcular algo así como la esperanza de vida de las partículas,
o vida media (inglés: mean lifetime), <t>, es decir, la
media aritmética de las vidas o duraciones de las partículas de la muestra.
Desde luego, en una muestra formada por un gran número de partículas no podemos
usar el método normal de calcular medias aritméticas, que consistiría en medir
la duración o vida de todas las partículas para dividirla por el número de
partículas de la muestra. Para obtener el valor de la vida media, nos valdremos
de la ayuda del cálculo integral. Indicaré los pasos esenciales de mi
demostración, que he de decir que no he visto en ninguno de los textos de
física consultados.
Para
ello, consideraremos el número de partículas N' que se han desintegrado ya en un momento determinado t. Este número es, evidentemente, N'
= N0 – N = N0 – N0e–λt = N0
(1 – e–λt). Los valores de función N'(t) se encuentran entre 0 y N0,
pues a los cero segundos no se ha desintegrado ninguna partícula, y cuando t tienda a infinito se desintegrarán los
N0 átomos de la muestra.
Podemos tomar ahora la función inversa de ésta, es decir, t(N'), que toma valores entre N' = 0 y N' = N0, y cuyos recorrido se encuentra entre t = 0
y t = infinito. Dividimos el dominio
de t(N') en un conjunto de n pequeños subintervalos ΔN'1,
ΔN'2, ..., ΔN'n, y consideramos un valor de la función
t(N') en cada uno de los
subintervalos; estos valores t1,
t2, ..., tn, representan
aproximadamente, respectivamente, el tiempo de vida o duración de cada una de
las partículas incluidas en el subintervalo respectivo. Si multiplicamos cada tk por la longitud del
correspondiente subintervalo ΔN'k
desde k = 1 a k = n, sumamos todos estos productos y dividimos por el número
total de partículas de la muestra N0,
obtendremos una aproximación de la vida media <t> de las partículas de la
muestra. Pero si hacemos tender a cero la longitud de los subintervalos, la
suma se convertirá en una integral, y obtendremos el valor exacto de la vida
media: <t> = 1/N0
multiplicado por la integral, entre cero y N0,
de t dN'. Esto es precisamente el
valor medio de la función t(N') en el
intervalo [0, N0].
A
partir de N' = N0 (1 – e–λt),
calculamos dN' = λ N0 e–λt
dt, y substituyendo, queda que <t> = λ · integral entre cero e infinito, de t e–λt dt. Esta integral, que representaremos por I,
se calcula fácilmente por partes, y resulta ser I = (–1/λ) · e–λt · (t + 1/λ). Podemos comprobar, por
derivación, que d/dt [(–1/λ) · e–λt
· (t + 1/λ)] = t e–λt.
Claramente se ve que, cuando t
tiende a cero, I tiende a –1/λ2, y cuando t tiende a infinito, I tiende a cero. Por tanto, el valor de la integral entre los límites de integración citados es igual a 1/λ2. Sustituyendo ahora,
obtenemos finalmente que <t> = 1/λ.
Es decir, el valor de la vida media del conjunto de partículas de la muestra es
el inverso de la constante de desintegración.
Ahora
vemos claramente que el período de semidesintegración (o semivida, o
semiperíodo), T, del conjunto de
partículas (o de la muestra radiactiva) es diferente a la vida media,
<t>, de las partículas, y tienen diferente valor. Concretamente, y como
vimos que T = ln 2 / λ, siendo ln 2 aproximadamente igual a 0,693, y <t> = 1/λ, la vida media es mayor que el período de semidesintegración.
Resulta ser T = ln 2 · <t>.
Para
las partículas inestables de nuestro ejemplo, en que λ = 0,05 s–1, la vida media de las partículas es
<t> = 1 / 0,05 = 20 s. Recordemos que el período de semidesintegración
era aproximadamente igual a 14 s.
No hay comentarios:
Publicar un comentario