Introducció divulgativa a la física moderna (II)

De les dues teories fonamentals de la física moderna (la relativitat i la física quàntica), començaré l’exposició per la primera, per raons històriques. A continuació, ens endinsarem en els problemes que planteja la mecànica quàntica i les seues interpretacions, sempre a nivell divulgatiu, abans d’entrar en altres temes com la física de partícules, cosmologia, etc.

LA TEORIA DE LA RELATIVITAT

Els precedents

Durant el segle XVII, Galileu i Newton havien posat les bases de la física i de la ciència en general. A partir de les tres lleis del moviment de Newton, de la llei de la gravitació universal, deduïda també per Newton, i dels conceptes newtonians d'espai i temps absoluts, s'havia desenvolupat durant els dos segles següents un cos teòric impressionant, que permetia explicar els moviments dels cossos macroscòpics, des de la caiguda d'una poma i el moviment d'una pilota en el camp gravitatori terrestre fins al moviment dels planetes i altres cossos celestes. D'altra banda, a mitjan segle XIX, James Clerk Maxwell, culminant el treball d'altres físics com Gauss, Ampère, Faraday, etc., havia formulat les lleis del camp electromagnètic, que permetien explicar els fenòmens de l'electricitat i el magnetisme i predeien les ones electromagnètiques, de les quals la llum i les ones de ràdio són una manifestació. L'òptica quedava inclosa, doncs, com una branca de l'electromagnetisme clàssic. A més a més, durant el segle XIX s'havien desenvolupat la termodinàmica, la teoria cinètica dels gasos i la mecànica estadística, que explicaven i relacionaven fenòmens i conceptes com la calor, la temperatura, la pressió, l'energia i l'entropia, i s'havien posat les bases per a la teoria atòmica de la matèria. Tot aquest cos de coneixement, que havia permès la primera revolució industrial i semblava que podia donar una explicació global de tots els fenòmens naturals, s'anomena física clàssica.

Tanmateix, al final del segle XIX s'evidenciaren alguns problemes. En principi, conceptes com ara posició, velocitat, acceleració, etc. implicaven la idea d'un observador o sistema de referència, respecte al qual s'han de mesurar aquests valors. Entre tots els sistemes de referència possibles, les lleis de Newton eren aplicables directament en els sistemes no accelerats, és a dir, entre els que es mouen entre si i respecte a l'espai absolut newtonià amb moviment rectilini uniforme, és a dir, amb velocitat constant i sense rotació; eren els anomenats sistemes de referència inercials. Només en els sistemes de referència inercials es compleixen les lleis del moviment de Newton; és a dir, només en aquests sistemes un cos no sotmès a cap força es mou en línia recta i amb velocitat constant, i, si es sotmès a una força, experimenta una acceleració inversament proporcional a la seua massa inercial. En altres sistemes de referència no inercials, és a dir, accelerats o en rotació, no es compleixen les lleis de Newton; per a descriure els moviments en aquests sistemes, cal introduir les anomenades forces fictícies o d'inèrcia, com ara la força centrífuga en un sistema en rotació o la força de Coriolis. Precisament, com que hom no pot mesurar el moviment d'un sistema de referència respecte a un eventual espai absolut, l'únic test vàlid per a determinar si un sistema de referència és inercial o no és verificar si s'hi compleixen les lleis de Newton. Respecte a les lleis de Newton i a les restants lleis de la mecànica que se'n deriven, els infinits sistemes de referència inercial són equivalents; en tots es compleixen aquestes lleis i hom no pot distingir, mitjançant experiments de mecànica, si es troba en repòs o en moviment respecte a l'espai absolut; és el que després es coneixeria com a principi de relativitat restringida o de Galileu.

Però les equacions de Maxwell de l'electromagnetisme contenien de manera implícita la velocitat de la llum, i no quedava clar respecte a quin sistema de referència calia mesurar aquesta velocitat; si es considerava que la velocitat de la llum que es derivava de les equacions de Maxwell era la velocitat de la llum respecte a l'espai absolut, les equacions prenien una forma complicada quan hom canviava de sistema de referència. Això vol dir que les equacions de Maxwell no són invariants en una transformació de Galileu, és a dir, en un canvi entre sistemes de referència relacionats a la manera clàssica. Hi havia, doncs, un sistema de referència, el de l'espai absolut, privilegiat per a les lleis de l'electromagnetisme, en oberta contradicció amb el que s'esdevenia amb les lleis de la mecànica, invariants per a tots els observadors inercials.

D'altra banda, la teoria ondulatòria de la llum, que explicava tots els fenòmens òptics coneguts fins aleshores, s'imposà durant els segles XVIII i XIX, i era coherent amb la concepció de la llum com a ona electromagnètica, que es deduïa de les lleis de Maxwell. Però la transmissió mecànica d'una ona exigia l'existència d'un medi transmissor. Per a pal·liar aquests problemes, hom proposà la idea de l'existència d'un mitjà anomenat èter, amb unes propietats extravagants, que servís de mitjà de transmissió de la llum i de les ones electromagnètiques en general. A més a més, aquest èter era una espècie de materialització de l'espai absolut de Newton, respecte al qual calia mesurar la velocitat de la llum.

Però si l'èter i l'espai absolut existien, havia de ser possible mesurar la velocitat dels cossos, i concretament de la Terra, respecte a aquest èter immòbil; això no era possible mitjançant experiments de mecànica (principi de relativitat de Galileu), però sí que havia de ser possible mitjançant experiments d'òptica: si la llum es movia a través de l'èter amb una velocitat absoluta, havia de ser possible apreciar diferències en la velocitat dels distints raigs de llum respecte a la Terra segons es moguessen en la mateixa direcció o en direcció contrària o perpendicular al moviment de la Terra, i segons de la velocitat d'aquesta. El 1881 i 1887, Michelson (premi Nobel de física el 1907) realitzà, primerament en solitari i després en col·laboració amb Morley, una sèrie d'experiments, amb una tècnica d'interferometria òptica molt precisa, per a mesurar la velocitat absoluta de la Terra en diferents èpoques de l'any. Els experiments de Michelson-Morley donaven, però, un resultat sorprenent i aparentment absurd: no es pogueren mesurar diferències de velocitat entre els raigs de llum en direccions diverses, i per tant la velocitat de la Terra respecte a l'èter semblava que era exactament nul·la. El majestuós edifici de la física clàssica començava a mostrar greus esquerdes; la física es trobava, al començament del segle XX, en un atzucac.

La major part dels físics ignoraren els experiments de Michelson-Morley, però alguns tractaren de proposar algunes hipòtesis que expliquessen el resultat de Michelson-Morley dins del paradigma clàssic. Hom proposà que l'èter podia ser "arrossegat" per la Terra en el seu moviment; però aquesta idea de l'èter arrossegat era contradictòria amb fets experimentals ben coneguts, com ara l'aberració de la llum estel·lar o el fet que la velocitat de la llum era independent de l'estat de repòs o moviment de la font lluminosa emissora, fets coherents amb la teoria ondulatòria de la llum. Fitzgerald i Lorentz, per explicar l'experiment de Michelson-Morley, arribaren a suposar que els cossos es contreien materialment dins de l'espai absolut en el sentit del moviment; aquest estrany fenomen explicava l'experiment de Michelson-Morley, però era contradictori amb altres experiments; a més a més, ningú no era capaç d'explicar com es produïa aquesta contracció independentment de les propietats físiques dels cossos. El 1904, Lorentz arribà a proposar sense demostració unes relacions, conegudes com a transformació de Lorentz, que relacionaven les mesures de longitud en funció de la velocitat de sistemes mòbils i fixos, de manera que fossen compatibles amb les equacions de Maxwell; per donar coherència a la seua teoria sobre l'electricitat, Lorentz suggerí també que els cossos en moviment respecte a l'èter experimentaven realment, a més a més de la contracció de la longitud, un alentiment del temps local i un augment de la massa d'origen electromagnètic quantitativament iguals als de la relativitat, però amb una interpretació física diferent. Henri Poincaré, l'any 1904, proposà de manera qualitativa un principi de relativitat semblant al d'Einstein, i albirà de manera intuïtiva la necessitat d'una nova mecànica en què «la velocitat de la llum es convertiria en un límit infranquejable». Es trobaven en l'ambient algunes peces soltes que trobarien coherència en la nova teoria d'Einstein.

Els principis de la teoria especial de la relativitat

El 1905, Albert Einstein, un modest funcionari d'una oficina de patents a Berna, va publicar en la revisa Annalen der Physik tres articles d'una importància excepcional en la història de la ciència. En el primer article, pel qual rebria el premi Nobel l'any 1921, explicava l'efecte fotoelèctric, introduïa el concepte dels fotons com a quàntums o partícules de la radiació electromagnètica i posava les bases per a la teoria quàntica de la llum. El segon article tractava dels aspectes estadístics de la teoria molecular, incloïa una anàlisi matemàtica detallada del moviment brownià (moviment caòtic de les partícules en suspensió, quan són colpejades per les molècules d'un fluid) i donava proves concloents a favor de la teoria atòmica de la matèria, aleshores encara en discussió. En el tercer article, titulat modestament «Sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment», Einstein exposà la teoria especial de la relativitat, que seria completada amb un article posterior el mateix any.

Einsten pretenia resoldre la contradicció existent entre les equacions de Maxwell per al camp electromagnètic i la mecànica newtoniana. Parteix d'unes poques i senzilles hipòtesis:

1. Principi de constància de la velocitat de la llum o d'unicitat dels raigs lumínics: la velocitat de la llum en el buit respecte a un sistema inercial és constant i igual a c, independentment de l'estat de repòs o moviment de la font emissora: és a dir, dos raigs lumínics emesos respectivament per una font en repòs i per una font en moviment respecte a un sistema inercial es mouen conjuntament com si es tractés d'un únic raig de llum. Aquesta propietat de la llum era coherent amb les lleis de l'electromagnetisme de Maxwell i va ser comprovada experimentalment l'any 1913 per de De Sitter mitjançant l'observació dels sistemes d'estels dobles.

2. Principi de relativitat: les lleis de la física són vàlides per a tots els sistemes inercials. En particular, hi és vàlid el principi de constància de la velocitat de la llum: la velocitat de la llum mesurada en qualsevol sistema inercial és constant i igual a c. És a dir, tots els sistemes inercials són equivalents, no sols per a les lleis de la mecànica, com ja establia la relativitat restringida de Galileu, sinó per a qualsevol de les lleis de la física; cap observador que es trobe en un sistema inercial (que es mou en línia recta sense acceleració) no pot definir una velocitat absoluta per al seu sistema. Aquest principi és conseqüent amb l'experiment de Michelson-Morley.

3. Homogeneïtat i isotropia de l'espai i homogeneïtat del temps. És a dir, les lleis de la física són independents del lloc i de la direcció elegida en l'espai, i del moment temporal escollit per a realitzar els experiments. Una suposició prou raonable, contrastada per l'experiència.

Observem que el principi 1 és congruent amb la consideració de la llum com a ona que es desplaça en un medi, i aquesta propietat la compleix també, per exemple, el so, quan es desplaça en l'aire: la velocitat del so en l'aire és independent del fet que la font sonora estiga en repòs o en moviment respecte a l'aire; les ones sonores tenen una velocitat fixa en l'aire que les transmet, i respecte a un observador fix en la Terra, aquesta velocitat és la mateixa tant si la font sonora es troba en repòs com si és troba en moviment. La diferència entre el comportament de les ones sonores i el de la llum és que la velocitat de les ones sonores respecte al sistema mòbil lligat a la font emissora, encara que siga un sistema inercial, serà diferent que respecte a l'aire en repòs; en canvi, en el cas de la llum, la velocitat d'un raig lluminós seria la mateixa tant respecte al sistema en moviment com respecte al sistema en repòs. No és que les ones sonores no complesquen el principi de relativitat: si l'aire és arrossegat en l'interior d'un vagó de tren tancat i aquest és un sistema inercial, la velocitat de les ones sonores respecte al tren en l'interior d'aquest serà la mateixa que la velocitat del so mesurada en l'aire en repòs, i diferent de la velocitat respecte al tren de les ones exteriors; les ones del interior del tren avançaran respecte a les ones transmeses per l'aire exterior en repòs, cosa que no succeirà en el cas de la llum.

El principi 2 ja era considerat vàlid per a les lleis de la mecànica (principi de relativitat restringida o de Galileu). Per exemple, un projectil disparat per un mateix canó adquirirà la mateixa velocitat respecte al sistema del canó independentment del moviment del canó si aquest moviment és rectilini i uniforme. Tanmateix, el projectil no compleix el principi 1: si el canó ens dispara allunyant-se de nosaltres, la velocitat de la bala respecte a nosaltres serà menor que si el canó es troba en repòs, però la velocidad del projectil serà major si el canó s'acosta a nosaltres.

L'assumpció d'ambdues propietats per part de la llum dóna lloc a una contradicció aparent. Suposem que ens trobem aturats en una via, i que un tren en moviment s'allunya de nosaltres a una velocitat constant v; nosaltres, aturats en la via, llancem un raig de llum R1 en la direcció del moviment i en el sentit d'avanç del tren, és a dir, allunyant-se també de nosaltres, mentre una altra persona, pujada al tren i en moviment solidari amb aquest, llança, també cap avant, un segon raig de llum R2. Si acceptem el principi 2 (principi de relativitat), el raig R1, llançat per nosaltres des de la via, es mourà a una velocitat c respecte a nosaltres, i el raig R2, llançat per la persona del tren, viajarà igualment a una velocitat c respecte al tren; però aleshores, si apliquem la fórmula clàssica de suma de velocitats coneguda com a "transformació de Galileu", la velocitat de R2 respecte a nosaltres serà de c+v. Però ací entrem en contradicció amb el principi 1 (unicitat dels raigs lumínics), ja que l’aplicació de la suma de velocitats o transformació de Galileu ens dóna com a resultat que el raig R1, llançat per nosaltres, en repòs en la via, viatja a velocitat c, mentre que el raig R2, llançat per la persona del tren en moviment, hauria de viatjar a velocitat c+v; en canvi el principi 1 ens afirmava que els dos raigs lumínics viatgen conjuntament a velocitat c independentment que l’hagem llançat nosaltres (font en repòs) o des del tren (font en moviment). Suposem ara que desitgem mantenir com a cert el principi 1 (unicitat dels raigs lumínics); aleshores, per a nosaltres, tant R1 (llançat per la font en repòs) com R2 (font en moviment) viatgen a la mateixa velocitat c; però aleshores per a l'observador del tren, que persegueix el raig R2, aquest raig viatjarà a una velocitat c-v, en contradicció amb el principi 2 (principi de relativitat).

L'aportació revolucionària d'Einstein fou el descobriment que aquesta contradicció era deguda als supòsits implícits en la transformació de Galileu, és a dir, als conceptes newtonians d'espai i temps absolut; en sumar les velocitats segons la fórmula clàssica, hom presuposa que la mesura del temps i de les distàncies és idèntica per a ambdós observadors en moviment relatiu, la qual cosa resulta ser falsa. Deixant de banda els conceptes d'espai i temps absolut, i superant la idea de l'èter, que es torna innecessari, a partir de les hipòtesis de la relativitat Einstein deduí teòricament les equacions de transformació de Lorentz, que relacionen les mesures de les magnituds físiques entre sistemes de referència en moviment deixant invariants les equacions de Maxwell, i deduí també les relacions de transformació per a la velocitat, compatibles amb la constància de la velocitat de la llum, i les relacions de transformació per a les altres magnituds físiques. A partir d'aquestes equacions, deduí conseqüències que desafiaven el sentit comú: la relativitat de la simultaneïtat, el retard dels rellotges i la contracció dels objectes d'un sistema en moviment, observats des d'un altre sistema de referència respecte al qual es mou el primer sistema.

En la pròxima entrada veurem les conseqüències de la relativitat especial i els seus efectes sobre la mesura del temps, de l’espai i de la massa, i a més introduïrem l’espaitemps a partir de la formulació de Minkowski.

Definició de magnituds en física

En los libros elementales de física se suele decir que las magnitudes fundamentales son longitud, tiempo y masa, a las que se suele añadir la carga eléctrica y quizá otras menos usadas. Sin embargo, como veréis, la cosa no es tan sencilla. He revisado el material que he encontrado sobre el tema y he intentado sacar mis propias conclusiones, que me gustaría contrastar con otras personas interesadas. Mantengo el texto en la lengua en que fue redactado (catalán, variante valenciana); pero si alguien está muy interesado y tiene dificultades de comprensión puede ponerse en contacto conmigo.

Una vegada acceptades com a fonamentals les magnituds longitud i temps, i fixat un sistema de referència, queda definida la posició de la partícula material respecte al dit sistema. A continuació, definim, com es fa habitualment, la velocitat v i l’acceleració a com a derivades primera i segona del vector de posició.

Però per a donar un pas més i definir la massa i la força, cal adoptar algunes precaucions. En primer lloc, cal distingir entre massa inercial (la magnitud que apareix en les lleis de Newton) i massa gravitacional (la que apareix en la llei de la gravitació universal, també de Newton).

En els textos de física se sol definir la massa inercial com una propietat dels cossos en llur interacció mútua. Coneguda la massa del cos patró (m_P) fixat com a unitat de massa, la massa de qualsevol altre cos de prova es pot determinar segons l'equació:

                            m = - m_Pa_P/a                          (1)

on a i a_P són, respectivament, les acceleracions lineals del cos incògnita i del cos patró quan aquests interaccionen.

         Cal plantejar-se en quin sistema es mesuren les acceleracions de (1). Aquesta equació només és aplicable si mesurem les acceleracions en el sistema centre de masses (CM), on la quantitat del moviment total del sistema és, per definició, zero, o bé en un sistema inercial. Però no podem aplicar directament l’equació en el sistema CM, ja que la definició del CM requereix la determinació prèvia de la massa m, que és el que volem calcular. Aquestes acceleracions s'han de mesurar, doncs, en un sistema inercial, que es defineix com un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos, i els eixos del qual no giren; en aquest sistema, l'equació (1) és conseqüència directa de la tercera llei de Newton, però podem prendre-la com a definició de massa inercial.

         Observem que si intentem mesurar la relació de masses en un sistema no inercial, hi apareixeran les acceleracions d'inèrcia a_I, de manera que les acceleracions observades de cada partícula seran a_P' = a_P - a_I per al cos patró, i a' = a - a_I per al cos de prova. Per tant, si intentem aplicar (1) amb la relació d'acceleracions en un sistema no inercial obtindrem, per a la partícula de prova, una massa m' = - m_Pa_P'/a' = - m_P (a_P - a_I) / a - a_I), diferent de l'obtinguda en el sistema inercial. Per tant, per a una correcta definició de la massa necessitem prèviament una definició de sistema inercial.    

         La definició de massa (1) es basa en l'observació que la quantitat m/m_P és una constant per a cada parell de cossos, o bé per a tot cos si considerem ja fixada la massa unitat m_p. Aquesta propietat es pot derivar com a conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment. Efectivament, si definim el vector quantitat de moviment p com a p = mv, aquest principi s'expressarà, per a moviment rectilini, com a mv + m_Pv_P = constant, i derivant aquesta expressió obtindrem (1).

            Definida així la massa, la segona llei de Newton, en un sistema inercial (suposant que la massa és constant)

                            F = ma                                    (2)

sol considerar-se en molts textos no com una llei de la naturalesa, sinó com una definició de força (Finn-Alonso, Tipler). El descobriment de Newton comportaria, doncs, que aquest concepte expressa d'una manera coherent la interacció entre cossos.

            Segons aquest programa, la primera llei de Newton seria una conseqüència de la definició de força, mentre que la tercera seria una conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment.

D'aquesta manera, les lleis de la gravitació, de l'electromagnetisme, etc., són veritables lleis de la naturalesa, que expressen la mesura de les interaccions quantificades sota el concepte de força. Per exemple, en la llei de la gravitació de Newton:

                            F_G = Gm_GM_G/r² = m_Gg                       (3)

hi apareix la quantitat m_G (massa gravitacional). La proporcionalitat entre massa inercial i massa gravitacional (igualtat amb una adequada elecció d'unitats: m_G = m) apareixeria com una altra llei de la naturalesa, que es pot deduir, però, del principi d'equivalència de la relativitat general. Aquesta igualtat ens permet, quan la interacció és, per exemple, entre la Terra i un cos pesant, fer m_Gg = ma, d'on g = a; és a dir, en deduïm que tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració g = GM/r² (on M és la massa de la Terra), i podem avaluar la massa dels cossos comparant els pesos respectius.

         El programa establert, que procedeix de Mach, té, però, algunes dificultats. En primer lloc, l'equació (1) no és suficientment general. No és aplicable a cossos no accelerats. A més, com que és equivalent a la tercera llei de Newton, només és aplicable en el cas d'interaccions instantànies, ja que, tot i que és conseqüència de la llei de conservació de la quantitat de moviment, no té en compte la quantitat de moviment que es desplaça entre les partícules en interacció quan la interacció no és o no pot considerar-se instantània. Segons Mario Bunge, l'equació (1) no pot considerar-se una definició, sinó un procediment per a mesurar la massa en un cas particular. La massa (inercial, en aquest cas) és una propietat objectiva de les partícules, independentment de la manera com es puga mesurar o del fet que aquestes partícules estiguen accelerades o no. D'altra banda, una definició de la força a partir de l'equació (2) només ens donaria la força total que actua sobre una partícula, i no ens informaria sobre cadascuna de les forces particulars resultat de la interacció amb cossos diversos. Aquesta definició no tindria sentit, per exemple, en estàtica, on l'acceleració d'una partícula en equilibri és nul·la, tot i que hi actuen forces diverses que s'anul·len.

         Però, a més, igualment que la llei de conservació de la quantitat de moviment, l'equació (1) només és aplicable, com ja hem dit, si mesurem les acceleracions en el sistema centre de masses (on la quantitat del moviment total del sistema és, per definició, zero), o bé en un sistema inercial. Aleshores topem amb la dificultat d'establir una definició prèvia correcta de sistema inercial. La definició que hem donat d'un sistema inercial, com "un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos" inclou el concepte d'interacció, matemàticament expressat com una força. Per tant, si es defineix la força mitjançant l'equació (2), ens trobem amb una situació circular: no podem definir la força mitjançant l'equació (2), que es dóna per a sistemes inercials, perquè prèviament ha intervingut el concepte de força (interacció) en la definició de sistema inercial, com a sistema lliure d'interaccions.

         Hi hauria, encara, una altra possibilitat: la de definir els sistemes inercials en funció de la radiació de fons de microones que ompli l’univers. Per exemple, seria un sistema inercial aquell en què la radiació de fons de microones és isòtropa, i també tots els sistemes que es mouen amb moviment rectilini i uniforme respecte a aquest; o bé, seria inercial un sistema en el qual la radiació de fons té una anisotropia constant. Amb aquesta definició, podríem considerar de nou la segona llei de Newton com a definició de força. Tanmateix, aquesta alternativa no faria justícia a la realitat històrica del descobriment de Newton ni al concepte original de sistemes inercials, ni tampoc se superarien les dificultats indicades en els paràgrafs anteriors. Resulta, doncs, preferible, definir els sistemes inercials com han estat definits històricament, deduir la isotropia de la radiació de fons en els sistemes inercials com a conseqüència de les altres lleis de la física o del principi d’isotropia de l’espai, i buscar una definició o caracterització alternativa de força.

         Tampoc no serveix l'alternativa de considerar la força com a magnitud primitiva i intentar definir la massa per l'equació (2). Igualment que en el programa de Mach, aquesta equació no es pot aplicar a cossos no accelerats, als quals, si l’equació fos una definició, no hi hauria possibilitat d'assignar-los una massa. La massa inercial és una propietat dels cossos que es manifesta com a resistència a la variació de la velocitat en qualsevol mena d'interaccions; és per tant, un concepte primitiu que no deriva del concepte de força.

         Qualsevol intent, doncs, de definir la força o la massa l’una a partir de l'altra segons la segona llei de Newton comporta dificultats, i amaga el fet que cada partícula experimenta acceleracions proporcionals a la força (o forces) que s'hi apliquen, i que una mateixa força origina acceleracions inversament proporcionals a la massa de les partícules a què s'aplica.

         Tot això ha portat alguns autors (Bunge, Symon, Alemañ et al.) a considerar el concepte de força com a primitiu, en el sentit d'expressió matemàtica d'una interacció, juntament amb el concepte també primitiu de massa inercial, com a propietat escalar de les partícules. Segons això, la segona llei de Newton seria una veritable llei de la naturalesa que expressa una relació entre magnituds primitives, concretament, el fet que, en els sistemes inercials, definides la massa i l'acceleració de manera prèvia, la mateixa força provoca acceleracions inversament proporcionals a les masses inercials dels cossos de prova. La primera llei de Newton, en canvi, seria una conseqüència de la segona, i la tercera llei, una conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment, més fonamental y general que la mateixa tercera llei.

         Observem que la validesa de la segona llei de Newton i la caracterització d’aquesta com a llei de la naturalesa queda incòlume també en la teoria de la relativitat, si l’escrivim en la seua forma més general: F = dp/dt, on el vector p és ara la quantitat de moviment relativista, definit de manera convenient perquè es complisca la llei de conservació de la quantitat de moviment.

Pel que fa a la definició dels sistemes inercials, continua sent vàlida la donada inicialment (un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos, i els eixos del qual no giren); el fet que siguen també inercials tots aquells sistemes els orígens de coordenades dels quals es desplacen a velocitat relativa constant respecte a un d’inercial i els eixos dels quals no giren, es pot deduir del principi de relativitat restringida o de Galileu, segons el qual les lleis de la mecànica (concretament, les lleis de Newton), són invariants en tots els sistemes inercials. Però davant la dificultat de comprovar a priori si una partícula es troba lliure d'interaccions o no, es considerarien empíricament com a sistemes inercials aquells sistemes en què es compleixen les lleis de Newton; en canvi, en els sistemes no inercials, per a conservar formalment l'equació (2) caldria introduir en el càlcul les forces fictícies, que no serien veritables forces en el sentit que no serien expressió de la interacció entre cossos.

         Observem que les lleis de les forces, com ja hem dit, són també vertaderes lleis de la natura. P. ex., la llei de la gravitació expressa el fet que la força entre dos cossos és proporcional a llurs masses gravitacionals i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa; la llei de Coulomb expressa el fet que la força elèctrica és proporcional a les càrregues i també inversament proporcional al quadrat de la distància, etc.

         D. Hestenes distingeix entre dues classes de definicions: definicions explícites i implícites. Un concepte és definit explícitament quan és expressat en termes d'altres conceptes; p. ex., l'energia cinètica, que es defineix com a K = mv²/2. Un concepte o terme és definit implícitament per una sèrie d'axiomes que el relacionen amb altres conceptes; per exemple, el punt és definit pels axiomes de la geometria, que el relacionen amb altres conceptes com recta, pla..., i un vector és definit pels axiomes de l'espai vectorial que indiquen com sumar vectors o multiplicar vectors per un escalar. Comunament es diu que termes com punt o vector, introduïts per axiomes, són termes no definits, però segons l'autor aquesta és una expressió desafortunada que ha de ser rebutjada. Més que dir que "alguns termes de la teoria han de ser no-definits”, caldria dir que "alguns termes d'una teoria han de ser definits implícitament". Des d’aquest punt de vista, la força és definida implícitament per les lleis de les forces (entre les quals, podem triar-ne una per a la definició; per exemple, la de la gravitació universal), de la mateixa manera que la massa inercial és definida implícitament per la segona llei de Newton.

         Tindríem, doncs, el següent esquema simplificat d’axiomatització per a la mecànica clàssica de partícules:

 - Magnituds primitives (que poden caracteritzar-se, però no definir-se, v. Alemañ et al., o bé poden definir-se només implícitament): longitud, temps, massa inercial, massa gravitacional, força, càrrega elèctrica...

- Magnituds i conceptes derivats: velocitat, acceleració, quantitat de moviment, moment angular, treball, energia, sistema inercial...

- Lleis primitives (axiomes): segona llei de Newton, lleis de les forces (llei de la gravitació, lleis de l'electromagnetisme de Maxwell, etc.), conservació de la quantitat de moviment, conservació del moment angular, principi de relativitat d’Einstein (totes les lleis de la física, i no únicament les de la mecànica, són invariants per a tots els sistemes inercials), principi d'equivalència (entre un sistema accelerat i un sistema sotmés a gravitació), isotropia de l’espaitemps...

- Lleis derivades (teoremes): primera i tercera llei de Newton, proporcionalitat entre massa inercial i massa gravitacional, caiguda de tots els cossos amb la mateixa acceleració, isotropia de la radiació de fons...

         El programa de caracteritzacions i definicions de la nostra axiomatització seria el següent (aquesta axiomatització no pretén ser completa, sinó que tan sols vol destacar el caràcter de conceptes primitius i independents de massa inercial, massa gravitacional i força):

Longitud, temps

         Magnituds primitives, a partir de les quals triem un sistema de referència. En mecánica clàssica, t és independent del sistema de referència, mentre que en mecànica relativista sí que en depèn.

Força

         Magnitud primitiva, expressió matemàtica de la interacció entre cossos.

Massa inercial

         Magnitud primitiva. Com hem descrit, és l’escalar que expressa una propietat de la partícula que caracteritza la inèrcia o resistència al canvi de velocitat i es pot mesurar en alguns casos per mitjà de l'equació (1).

Massa gravitacional

         Magnitud primitiva. Es una altra propietat escalar de les partícules, que intervé en la llei de gravitació. La proporcionalitat (o igualtat, si es tria adequadament el sistema d'unitats) entre massa inercial i massa gravitacional és una conseqüència del principi d'equivalència. Observem que igualment podríem triar com a llei primitiva la igualtat de les masses inercial i gravitacional, i deduir-ne com a teorema el principi d’equivalència.

Sistema inercial

         Concepte derivat. Es defineix com aquell que té l'origen en una partícula no sotmesa a forces i els eixos del qual no giren respecte a l'univers (respecte als estels fixos, de Newton).

Lleis de Newton del moviment

         Lleis que descriuen la manera de moure's una partícula sotmesa a determinades forces, en un sistema inercial. La segona llei de Newton (F = dp/dt) és una llei primitiva, juntament amb la conservació de la quantitat de moviment. La primera i la tercera són teoremes.

Lleis de les forces

         Les lleis de les forces (de la gravitació, de Coulomb, etc.) són lleis primitives la naturalesa.

Sistemes d'unitats

         La unitat de longitud i de temps (metre i segon), es defineixen com es fa habitualment en els textos. La unitat de massa inercial es defineix com la massa inercial del quilo patró.

Per a definir la unitat de força, atés que hem definit aquesta com a mesura d’una interacció, caldria partir d'alguna de les lleis de les forces. Per exemple, a partir la llei de la gravitació universal, podríem definir la unitat de força com l'equivalent a 1/k multiplicat per la força a què es veuen sotmeses dues masses d'un quilogram separades per un metre de distància, de manera que k podria elegir-se lliurement. En aquest sistema, la llei de la gravitació universal s’expressaria com a F = km_GM_G/r² (on m_G i M_G serien les masses gravitacionals dels cossos). Fent, arbitràriament, k = 1, quedaria F = m_GM_G/r².

En aquest sistema, la segona llei de Newton del moviment ens diria que l’acceleració que experimenta un cos es proporcional a la força resultant a què és sotmés; és a dir, F = k’ma (on m es la massa inercial del cos). Sabent que, segons les lleis de la física, la massa gravitacional és proporcional a la massa inercial, podem triar el sistema d’unitats de manera que la massa inercial i la massa gravitacional siguen numèricament iguals, és a dir, m_G = m. Aleshores, un cos o partícula de massa m sotmés a l’atracció terrestre estaria sotmés a una força F = mM/r² (on M és ara la massa de la Terra), i experimentaria una acceleració igual a g = F/k’m. Com que el valor de g podríem mesurar-lo de manera independent (per exemple, per mitjà d’un pèndol), podríem calcular experimentalment el valor de k’.

Històricament, es va procedir a l’inrevés. En el Sistema Internacional d’unitats, el valor de k’ es igual a 1. Per això, la segona llei de Newton pren la forma F = ma. Newton va formular la llei de gravitació amb la fórmula coneguda F = GmM/r²; però la igualtat entre massa inercial i massa gravitacional que aquesta formulació implicava només es va comprendre completament amb la formulació del principi d’equivalència dins de la teoria general de la relativitat d’Einstein. Només calia mesurar experimentalment el valor de la constant G, fet que va portar a terme poc més tard Cavendish.

Però siga quin siga la definició de les unitats o el sistema d'unitats triat, observem que força, massa inercial i massa gravitacional són magnituds independents. En el SI, atés que la segona llei de Newton pren la forma F = ma, podem definir la unitat de força (el newton) com la força que, aplicada a un objecte de massa 1 kg li produeix una acceleració d'1 m/s². Però aquesta definició depén del sistema d'unitats triat, i no és obstacle perquè força i massa s'hagen de definir conceptualment de manera independent.

         Trobem una situació és similar en la definició de la unitat de càrrega en el sistema cgs. En aquest sistema, la llei de Coulomb s'expressa com a F = qQ/r², i la unitat de càrrega es defineix com a unitat derivada, en funció de les unitats de massa, longitud i temps. Això no impedeix que la càrrega puga ser considerada una magnitud conceptualment fonamental, per exemple, en el sistema MKSQ. També la unitat de massa podria definir-se com una unitat derivada, si partíssem de F = Mm/r² (amb la constant k igual a 1), en termes de longitud i temps, en contrast amb la seua conceptualització habitual com a magnitud primitiva.

         Cal distingir, doncs, entre dues dicotomies diferents. D'una banda, magnituds primitives (conceptualment independents) i derivades (definibles a partir d'aquestes), i d'una altra, unitats fonamentals (definides només a partir d’elements de la realitat, com el metre i el quilogram) i derivades (definibles a partir de les unitats fonamentals). La primera dicotomia depén de l'estructura de les lleis de la física, mentre que la segona depén només del sistema d'unitats triat. Així, la massa gravitacional i la força poden considerar-se magnituds primitives, però tenen unitats derivades en el sistema SI (1 newton és igual a 1 quilogram per un metre dividit per un segon al quadrat, mentre que el quilogram com a unitat de massa gravitacional és igual al quilogram com a unitat de massa inercial). La càrrega, magnitud primitiva, té unitats derivades en els sistemes cgs i SI (MKSA, on 1 coulomb és igual a un ampere per un segon), i només és unitat fonamental en el sistema MKSQ.

         El fet que ens permet definir les unitats de massa gravitacional, de força i de càrrega com a derivades, tot i considerar-se magnituds primitives, és que hi ha lleis generals que les relacionen amb unitats fonamentals: F = ma, m_G = m, q = It. En canvi, el metre i el segon són considerades unitats fonamentals (en tots els sistemes d'unitats) perquè no hi ha cap llei general que les relacione, sinó tan sols una propietat particular d'algun ens material (en aquest cas, la llum).

BIBLIOGRAFIA CITADA (no done algunes de les referències completes pel caràcter informal d’aquest escrit, i per ser suficientment conegudes pels estudiants i professionals de la física)

- Manuals usuals de física general (Finn-Alonso, Halliday i Resnick, Tipler, etc.).

- Symon, Mecánica, p. 11.

- Bunge, M. Controversias en física, cap. 1.

- Alemañ Belenguer, Rafael Andrés, et al.: “La axiomatización en la enseñanza secundaria: una opción didáctica”, Enseñanza de las Ciencias (Barcelona), 1999, 17 (2), p. 343-349.

- Hestenes, D.: “Foundations of Mechanics”, en New Foundations for Classical Mechanics, 1986 (http://ckw.phys.ncku.edu.tw/public/pub/Notes/Mathematics/Geometry/Hestenes/NFCM/Main.html).

Introducció divulgativa a la física moderna (I)

Durante muchos años de mi vida he sido aficionado a leer libros de divulgación científica, al mismo tiempo que dedicaba parte de mi tiempo libre al estudio particular progresivo de la física y las matemáticas. Durante este tiempo, he ido acumulando en un archivo un resumen de las ideas contenidas en los libros divulgativos, ordenadas por temas de una manera más o menos lógica, hasta que el archivo ha llegado a ser gigantesco. Realicé este resumen para mi uso personal y el de mis amigos, y me he decidido a hacerlo público para todas las personas interesadas, con la ilusión de transmitir a los lectores el amor por la ciencia y el espíritu de curiosidad por el conocimiento. Lo iré publicando en pequeños fragmentos, para hacerlo más digerible. Como siempre, lo mantengo en la lengua original en que fue redactado.

En esta primera entrega, hago una pequeña presentación de las teorías fundamentales de la física contemporánea y de los campos de estudio que abarcan, y expongo mi idea sobre las virtudes y limitaciones de los libros de divulgación científica en general.

PRESENTACIÓ

Es considera física moderna la física desenvolupada durant el segle XX, en contraposició amb la física clàssica, que dominà el món del pensament físic des del segle XVII (amb Galileu i Newton) fins al segle XIX. La física moderna ha suposat una autèntica revolució en la nostra manera de concebre el món, una revolució comparable a la que es va produir en el Renaixement amb l'aparició de la teoria heliocèntrica de Copèrnic. La nova visió científica del món ens permet conèixer les lleis de funcionament de la matèria, exepte en les situacions més extremes, i plantejar-nos els problemes més profunds, com ara la constitució i l'estructura última de la matèria i l'origen, la naturalesa i el destí de l'univers.

La física moderna es fonamenta en dues grans teories que tenen un domini d'aplicació distint, i que encara no s'ha aconseguit fer totalment compatibles: la teoria de la relativitat i la mecànica quàntica. La unió d'aquestes dues teories en una teoria global que les incloga (una teoria coherent de la gravitació quàntica) encara no s'ha aconseguit, i probablement, quan s'aconseguirà, la teoria unificada suposarà la culminació de l'esforç de la física teòrica moderna, o tal vegada l'inici de la nova física del segle XXI.

La teoria de la relativitat d'Einstein es va desenvolupar en dues fases que impliquen dues subteories complementàries: la relativitat especial i la relativitat general. La relativitat especial es limita a l'estudi del moviment relatiu entre sistemes de referència que es mouen entre si amb moviment rectilini i uniforme, i les seues conseqüències es fan importants quan considerem sistemes que es mouen a velocitats grans, que impliquen una fracció considerable de la velocitat de la llum. La relativitat general s'aplica al moviment entre qualssevol sistemes de referència, i implica una nova teoria de la gravitació. Els efectes de la relativitat general es fan notar quan considerem camps gravitatoris grans produïts per una massa considerable. A les escales de moviments de velocitat reduïda i amb masses petites, les prediccions de la relativitat coincideixen amb molta aproximació amb les de la física clàssica. Però quan hom considera l'espai i el temps o l'univers en el seu conjunt, la física clàssica no hi és aplicable, i cal recórrer a la relativitat.

Si la relativitat és aplicable en el camp del que és gran (grans velocitats, grans masses, el conjunt de l'univers...), la mecànica quàntica és la teoria que domina les lleis del que és petit. La mecànica quàntica, que governa les lleis de les partícules subatòmiques, és a dir, de les partícules elementals, els constituents més petits de la matèria, es troba, doncs, en la base de la física atòmica i molecular, i per tant és determinant per a donar fonament a les lleis de la química. La mecànica quàntica ha fet possible la gran revolució tecnològica del segle XX, amb desenvolupaments com l'electrònica i el làser.

La teoria de les partícules elementals, basada, com hem dit, en la mecànica quàntica, inclou també les teories que expliquen les forces que es produeixen entre aquestes partícules elementals. Un camp de desenvolupament important de la física del segle XX és l'esforç per trobar teories d'unificació, és a dir, teories que expliquen conjuntament les diverses forces de la naturalesa, com a manifestacions d'una única superforça fonamental. Si bé s'han descobert teories d'unificació parcials, aquesta teoria unificada de les forces, o teoria del camp unificat, encara no s'ha aconseguit, encara que hi ha ja prou indicis del que serà aquesta teoria.

Un altre camp fonamental de la física del segle XX és la cosmologia, és a dir, la part de la física (o de l'astrofísica) que estudia l'univers com un tot i que es planteja els problemes sobre l'estructura global i sobre l'origen i evolució i sobre el futur d'aquest univers.

I si recordem que en els moments inicials de l'univers només hi havia partícules elementals interaccionant entre si, comprendrem perquè la cosmologia es troba tan íntimament lligada amb la física de partículas: els dominis de la relativitat (la cosmologia) i de la mecànica quàntica (la física de partícules) es troben ací fosos, i queda palesa la necessitat d'una teoria unificadora. Per això, hom té l'esperança que la teoria unificada de les forces de la naturalesa, que seria també la teoria última sobre la constitució de la matèria, serà capaç d'explicar també el mateix origen de la matèria, és a dir, l'origen de l'univers. Es tractaria d'una autèntica teoria de tot, que significaria la culminació de la física teòrica.

Això ens duu plenament al plantejament dels problemes últims del coneixement humà, és a dir, a la creació i a la mateixa naturalesa de l'univers, i temes relacionats, com l'origen i significat del temps i de l'espai. Problemes que fins fa poc constituïen el camp exclusiu de la teologia i de la filosofia, es troben ara en el camp de la ciència. Cal plantejar-se, doncs, la qüestió si la ciència contemporània deixa algun espai a la creença en un ésser suprem creador o a algun principi organitzador de la naturalesa.

Vull acabar aquesta introducció amb un advertiment i una reflexió personal. L'advertiment: al redactar aquest treball, m'he autolimitat voluntàriament a la consulta dels llibres de divulgació sobre els temes exposats, és a dir, als llibres amb poc o nul contingut matemàtic. Per això, el contingut matemàtic del treball és reduït al mínim.

I la reflexió, sobre la meua experiència personal amb els llibres de "divulgació científica": una persona només pot comprendre totalment una teoria física —o només pot dir que la comprèn— si és capaç d'entendre tots els passos de l'argumentació lògica segons la qual a) aquesta teoria es deriva d'unes hipòtesis de partida o d'alguna altra teoria més fonamental que també es comprenen; b) la teoria estudiada explica els fets observats que pretenia explicar, i c) de la teoria se’n deriven determinades conseqüències lògiques que seran comprovades experimentalment; i si, a més a més, és capaç de resoldre quantitativement problemes teòrics i pràctics relacionats amb la teoria. I per a expressar tota aquesta cadena de raonaments lògics i per a resoldre aquests problemes, el llenguatge més adequat usat universalment pels físics és el llenguatge matemàtic. Per tant, per a entendre una teoria física, en aquest sentit "fort" de comprensió, cal estudiar-la en tots els detalls amb tot l'aparell matemàtic en el qual és formulada, per a la qual cosa cal una formació prèvia gradual en física i en matemàtiques.

I ací rau la limitació dels llibres de divulgació, que prescindeixen voluntàriament, amb l’objectiu de ser compresos pel gran públic al qual van adreçats, de tot o de la major part de l'aparell matemàtic. Un bon llibre de divulgació —i n'hi ha, i de molt bons— no pot aspirar a "explicar" o a fer entendre una teoria física, al nivell de comprensió que s'exigeix en el paràgraf anterior, si no és amb una bona dosi d'argumentació logicomatemàtica. Si volem elevar el nivell de comprensió intrínseca de la teoria, cal elevar el nivell d'argumentació lògica, i l'única manera econòmica de fer-ho és elevant el rigor conceptual i el contingut matemàtic. Però, aleshores, el nivell de comprensió per a un lector sense formació en física i matemàtiques es reduirà, i el llibre s'allunyarà de l'objectiu divulgatiu i s'acostarà a un llibre tècnic. I si es redueix al mínim el contingut logicomatemàtic, de manera que el llibre siga "comprensible" sense una formació científica prèvia, aleshores la teoria física quedarà més lluny de ser compresa en el sentit fort. Si es prescindeix d'aquest contingut matemàtic, hom no podrà aspirar més que a una exposició ordenada i raonada de les bases i de les conclusions més importants de la teoria, o, en tot cas, a l'exposició d'aspectes parcials i merament qualitatius d'aquesta teoria; és a dir, a un nivell de comprensió que podem anomenar "feble", en contraposició al nivell "fort" expressat adés. I nosaltres, com a lectors d'aquest tipus d'obres, no podrem assolir un nivell de comprensió major, només assequible amb una altra obra de major nivell tècnic. Hi ha, doncs, una espècie de "principi d'indeterminació" segons el qual el que es guanya en nivell de comprensió de lectura es perd en nivell de comprensió intrínsec de la teoria, i a l'inrevés. La qualitat d'un bon llibre de divulgació científica rau en el just equilibri entre el nivell d'argumentació logicomatemàtica i la qualitat de les explicacions, tenint en compte que la limitació exposada és real, de manera que es puga comprendre "el màxim possible en la pràctica" amb un nivell de formació prèvia i d'esforç de lectura determinat, idealment "mínim". Un llibre de divulgació no serveix per a "divulgar una teoria", en el sentit de fer-la totalment comprensible sense el raonament logicomatemàtic; cap aspecte de la física moderna —ni fins i tot de la clàssica— es deixa dominar d'aquesta manera. I el raonament lògic necessari per a una comprensió completa implica assumir l'esforç que exigeix el llenguatge matemàtic. Parafrasejant la frase d'Euclides a Ptolomeu I, podem dir que «no hi ha un camí de reis per a la física».

Com que aquest treball és només un resum general dels llibres de divulgació científica al meu abast, no podem esperar de la seua lectura una comprensió "forta" de les teories físiques exposades, en el sentit que he expressat anteriorment. La meua intenció ha estat resumir les qüestions més importants que es planteja la física contemporània, sobretot en els camps més capdavanters (física de partícules, cosmologia...), per a fer-les accessibles a nivell merament informatiu i recordatori, sobretot per al meu ús personal i el dels meus amics. Cal tenir en compte, doncs, que la densitat de informació i la complexitat de l'argumentació serà forçosament molt variable en diversos apartats del treball, segons el meu interès personal a consignar més o més detalls o el meu nivell d'aprofundiment assolit en cada aspecte particular. Però, almenys, les conclusions més importants són comprensibles, si més no en el sentit "feble" al qual em referia adés. Atès el caràcter informatiu del treball, tot i que els diversos capítols segueixen una exposició lògica continuada, els distints temes tractats són independents en certa mesura, i no cal una lectura exhaustiva d'un capítol per a comprendre'n un de posterior.

Escric tot això, amb l'esperança personal de tenir temps d’anar recorrent fins al més lluny possible el camí de la comprensió d'aquestes idees, és a dir, l'estudi de la física moderna amb tot l'aparell matemàtic adient, i amb la il·lusió de transmetre als potencials lectors la passió i el amor per la ciència. En realitat, crec que per a recórrer aquest camí per part dels no-professionals cal dedicar-hi una part important de tot el temps d'oci d'una vida humana, tenint en compte les altres dedicacions professionals, familiars, aficions, etc. A recórrer el camí ens impulsa la curiositat pel coneixement, ja que la física pretén donar respostes a les preguntes més fonamentals: com va sorgir l’univers i de què està composta la matèria. Tanmateix, cal dir també que el plaer es troba, tant en la meta a assolir, com en la bellesa del mateix camí i del paisatge que s'hi contempla, encara que aquest camí es trobe sembrat de pedres.

Presentación del blog “Los valores de la ciencia”

Este blog está dedicado a la divulgación de escritos de tema científico. Existen ya numerosos webs y blogs de gran calidad sobre divulgación científica. Como simple aficionado al tema, no pretendo emular ninguno de ellos. Simplemente pretendo con este blog ofrecer mis resúmenes y comentarios de libros de tema científico, y comentar y divulgar todo lo que encuentre interesante respecto a la ciencia, al lado de unos pocos escritos originales sobre temas controvertidos de física o matemáticas elementales, que pueden servir de ayuda a los estudiantes.