En los libros elementales de física se suele decir que las magnitudes fundamentales son longitud, tiempo y masa, a las que se suele añadir la carga eléctrica y quizá otras menos usadas. Sin embargo, como veréis, la cosa no es tan sencilla. He revisado el material que he encontrado sobre el tema y he intentado sacar mis propias conclusiones, que me gustaría contrastar con otras personas interesadas. Mantengo el texto en la lengua en que fue redactado (catalán, variante valenciana); pero si alguien está muy interesado y tiene dificultades de comprensión puede ponerse en contacto conmigo.
Una vegada acceptades com a fonamentals les magnituds longitud i temps, i fixat un sistema de referència, queda definida la posició de la partícula material respecte al dit sistema. A continuació, definim, com es fa habitualment, la velocitat v i l’acceleració a com a derivades primera i segona del vector de posició.
Però per a donar un pas més i definir la massa i la força, cal adoptar algunes precaucions. En primer lloc, cal distingir entre massa inercial (la magnitud que apareix en les lleis de Newton) i massa gravitacional (la que apareix en la llei de la gravitació universal, també de Newton).
En els textos de física se sol definir la massa inercial com una propietat dels cossos en llur interacció mútua. Coneguda la massa del cos patró (mP) fixat com a unitat de massa, la massa de qualsevol altre cos de prova es pot determinar segons l'equació:
m = - mPaP/a (1)
on a i aP són, respectivament, les acceleracions lineals del cos incògnita i del cos patró quan aquests interaccionen.
Cal plantejar-se en quin sistema es mesuren les acceleracions de (1). Aquesta equació només és aplicable si mesurem les acceleracions en el sistema centre de masses (CM), on la quantitat del moviment total del sistema és, per definició, zero, o bé en un sistema inercial. Però no podem aplicar directament l’equació en el sistema CM, ja que la definició del CM requereix la determinació prèvia de la massa m, que és el que volem calcular. Aquestes acceleracions s'han de mesurar, doncs, en un sistema inercial, que es defineix com un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos, i els eixos del qual no giren; en aquest sistema, l'equació (1) és conseqüència directa de la tercera llei de Newton, però podem prendre-la com a definició de massa inercial.
Observem que si intentem mesurar la relació de masses en un sistema no inercial, hi apareixeran les acceleracions d'inèrcia aI, de manera que les acceleracions observades de cada partícula seran aP' = aP - aI per al cos patró, i a' = a - aI per al cos de prova. Per tant, si intentem aplicar (1) amb la relació d'acceleracions en un sistema no inercial obtindrem, per a la partícula de prova, una massa m' = - mPaP'/a' = - mP (aP - aI) / a - aI), diferent de l'obtinguda en el sistema inercial. Per tant, per a una correcta definició de la massa necessitem prèviament una definició de sistema inercial.
La definició de massa (1) es basa en l'observació que la quantitat m/mP és una constant per a cada parell de cossos, o bé per a tot cos si considerem ja fixada la massa unitat mp. Aquesta propietat es pot derivar com a conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment. Efectivament, si definim el vector quantitat de moviment p com a p = mv, aquest principi s'expressarà, per a moviment rectilini, com a mv + mPvP = constant, i derivant aquesta expressió obtindrem (1).
Definida així la massa, la segona llei de Newton, en un sistema inercial (suposant que la massa és constant)
F = ma (2)
sol considerar-se en molts textos no com una llei de la naturalesa, sinó com una definició de força (Finn-Alonso, Tipler). El descobriment de Newton comportaria, doncs, que aquest concepte expressa d'una manera coherent la interacció entre cossos.
Segons aquest programa, la primera llei de Newton seria una conseqüència de la definició de força, mentre que la tercera seria una conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment.
D'aquesta manera, les lleis de la gravitació, de l'electromagnetisme, etc., són veritables lleis de la naturalesa, que expressen la mesura de les interaccions quantificades sota el concepte de força. Per exemple, en la llei de la gravitació de Newton:
FG = GmGMG/r2 = mGg (3)
hi apareix la quantitat mG (massa gravitacional). La proporcionalitat entre massa inercial i massa gravitacional (igualtat amb una adequada elecció d'unitats: mG = m) apareixeria com una altra llei de la naturalesa, que es pot deduir, però, del principi d'equivalència de la relativitat general. Aquesta igualtat ens permet, quan la interacció és, per exemple, entre la Terra i un cos pesant, fer mGg = ma, d'on g = a; és a dir, en deduïm que tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració g = GM/r2 (on M és la massa de la Terra), i podem avaluar la massa dels cossos comparant els pesos respectius.
El programa establert, que procedeix de Mach, té, però, algunes dificultats. En primer lloc, l'equació (1) no és suficientment general. No és aplicable a cossos no accelerats. A més, com que és equivalent a la tercera llei de Newton, només és aplicable en el cas d'interaccions instantànies, ja que, tot i que és conseqüència de la llei de conservació de la quantitat de moviment, no té en compte la quantitat de moviment que es desplaça entre les partícules en interacció quan la interacció no és o no pot considerar-se instantània. Segons Mario Bunge, l'equació (1) no pot considerar-se una definició, sinó un procediment per a mesurar la massa en un cas particular. La massa (inercial, en aquest cas) és una propietat objectiva de les partícules, independentment de la manera com es puga mesurar o del fet que aquestes partícules estiguen accelerades o no. D'altra banda, una definició de la força a partir de l'equació (2) només ens donaria la força total que actua sobre una partícula, i no ens informaria sobre cadascuna de les forces particulars resultat de la interacció amb cossos diversos. Aquesta definició no tindria sentit, per exemple, en estàtica, on l'acceleració d'una partícula en equilibri és nul·la, tot i que hi actuen forces diverses que s'anul·len.
Però, a més, igualment que la llei de conservació de la quantitat de moviment, l'equació (1) només és aplicable, com ja hem dit, si mesurem les acceleracions en el sistema centre de masses (on la quantitat del moviment total del sistema és, per definició, zero), o bé en un sistema inercial. Aleshores topem amb la dificultat d'establir una definició prèvia correcta de sistema inercial. La definició que hem donat d'un sistema inercial, com "un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos" inclou el concepte d'interacció, matemàticament expressat com una força. Per tant, si es defineix la força mitjançant l'equació (2), ens trobem amb una situació circular: no podem definir la força mitjançant l'equació (2), que es dóna per a sistemes inercials, perquè prèviament ha intervingut el concepte de força (interacció) en la definició de sistema inercial, com a sistema lliure d'interaccions.
Hi hauria, encara, una altra possibilitat: la de definir els sistemes inercials en funció de la radiació de fons de microones que ompli l’univers. Per exemple, seria un sistema inercial aquell en què la radiació de fons de microones és isòtropa, i també tots els sistemes que es mouen amb moviment rectilini i uniforme respecte a aquest; o bé, seria inercial un sistema en el qual la radiació de fons té una anisotropia constant. Amb aquesta definició, podríem considerar de nou la segona llei de Newton com a definició de força. Tanmateix, aquesta alternativa no faria justícia a la realitat històrica del descobriment de Newton ni al concepte original de sistemes inercials, ni tampoc se superarien les dificultats indicades en els paràgrafs anteriors. Resulta, doncs, preferible, definir els sistemes inercials com han estat definits històricament, deduir la isotropia de la radiació de fons en els sistemes inercials com a conseqüència de les altres lleis de la física o del principi d’isotropia de l’espai, i buscar una definició o caracterització alternativa de força.
Tampoc no serveix l'alternativa de considerar la força com a magnitud primitiva i intentar definir la massa per l'equació (2). Igualment que en el programa de Mach, aquesta equació no es pot aplicar a cossos no accelerats, als quals, si l’equació fos una definició, no hi hauria possibilitat d'assignar-los una massa. La massa inercial és una propietat dels cossos que es manifesta com a resistència a la variació de la velocitat en qualsevol mena d'interaccions; és per tant, un concepte primitiu que no deriva del concepte de força.
Qualsevol intent, doncs, de definir la força o la massa l’una a partir de l'altra segons la segona llei de Newton comporta dificultats, i amaga el fet que cada partícula experimenta acceleracions proporcionals a la força (o forces) que s'hi apliquen, i que una mateixa força origina acceleracions inversament proporcionals a la massa de les partícules a què s'aplica.
Tot això ha portat alguns autors (Bunge, Symon, Alemañ et al.) a considerar el concepte de força com a primitiu, en el sentit d'expressió matemàtica d'una interacció, juntament amb el concepte també primitiu de massa inercial, com a propietat escalar de les partícules. Segons això, la segona llei de Newton seria una veritable llei de la naturalesa que expressa una relació entre magnituds primitives, concretament, el fet que, en els sistemes inercials, definides la massa i l'acceleració de manera prèvia, la mateixa força provoca acceleracions inversament proporcionals a les masses inercials dels cossos de prova. La primera llei de Newton, en canvi, seria una conseqüència de la segona, i la tercera llei, una conseqüència del principi de conservació de la quantitat de moviment, més fonamental y general que la mateixa tercera llei.
Observem que la validesa de la segona llei de Newton i la caracterització d’aquesta com a llei de la naturalesa queda incòlume també en la teoria de la relativitat, si l’escrivim en la seua forma més general: F = dp/dt, on el vector p és ara la quantitat de moviment relativista, definit de manera convenient perquè es complisca la llei de conservació de la quantitat de moviment.
Pel que fa a la definició dels sistemes inercials, continua sent vàlida la donada inicialment (un sistema vinculat a un cos no subjecte a interaccions amb altres cossos, i els eixos del qual no giren); el fet que siguen també inercials tots aquells sistemes els orígens de coordenades dels quals es desplacen a velocitat relativa constant respecte a un d’inercial i els eixos dels quals no giren, es pot deduir del principi de relativitat restringida o de Galileu, segons el qual les lleis de la mecànica (concretament, les lleis de Newton), són invariants en tots els sistemes inercials. Però davant la dificultat de comprovar a priori si una partícula es troba lliure d'interaccions o no, es considerarien empíricament com a sistemes inercials aquells sistemes en què es compleixen les lleis de Newton; en canvi, en els sistemes no inercials, per a conservar formalment l'equació (2) caldria introduir en el càlcul les forces fictícies, que no serien veritables forces en el sentit que no serien expressió de la interacció entre cossos.
Observem que les lleis de les forces, com ja hem dit, són també vertaderes lleis de la natura. P. ex., la llei de la gravitació expressa el fet que la força entre dos cossos és proporcional a llurs masses gravitacionals i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa; la llei de Coulomb expressa el fet que la força elèctrica és proporcional a les càrregues i també inversament proporcional al quadrat de la distància, etc.
D. Hestenes distingeix entre dues classes de definicions: definicions explícites i implícites. Un concepte és definit explícitament quan és expressat en termes d'altres conceptes; p. ex., l'energia cinètica, que es defineix com a K = mv2/2. Un concepte o terme és definit implícitament per una sèrie d'axiomes que el relacionen amb altres conceptes; per exemple, el punt és definit pels axiomes de la geometria, que el relacionen amb altres conceptes com recta, pla..., i un vector és definit pels axiomes de l'espai vectorial que indiquen com sumar vectors o multiplicar vectors per un escalar. Comunament es diu que termes com punt o vector, introduïts per axiomes, són termes no definits, però segons l'autor aquesta és una expressió desafortunada que ha de ser rebutjada. Més que dir que "alguns termes de la teoria han de ser no-definits”, caldria dir que "alguns termes d'una teoria han de ser definits implícitament". Des d’aquest punt de vista, la força és definida implícitament per les lleis de les forces (entre les quals, podem triar-ne una per a la definició; per exemple, la de la gravitació universal), de la mateixa manera que la massa inercial és definida implícitament per la segona llei de Newton.
Tindríem, doncs, el següent esquema simplificat d’axiomatització per a la mecànica clàssica de partícules:
- Magnituds primitives (que poden caracteritzar-se, però no definir-se, v. Alemañ et al., o bé poden definir-se només implícitament): longitud, temps, massa inercial, massa gravitacional, força, càrrega elèctrica...
- Magnituds i conceptes derivats: velocitat, acceleració, quantitat de moviment, moment angular, treball, energia, sistema inercial...
- Lleis primitives (axiomes): segona llei de Newton, lleis de les forces (llei de la gravitació, lleis de l'electromagnetisme de Maxwell, etc.), conservació de la quantitat de moviment, conservació del moment angular, principi de relativitat d’Einstein (totes les lleis de la física, i no únicament les de la mecànica, són invariants per a tots els sistemes inercials), principi d'equivalència (entre un sistema accelerat i un sistema sotmés a gravitació), isotropia de l’espaitemps...
- Lleis derivades (teoremes): primera i tercera llei de Newton, proporcionalitat entre massa inercial i massa gravitacional, caiguda de tots els cossos amb la mateixa acceleració, isotropia de la radiació de fons...
El programa de caracteritzacions i definicions de la nostra axiomatització seria el següent (aquesta axiomatització no pretén ser completa, sinó que tan sols vol destacar el caràcter de conceptes primitius i independents de massa inercial, massa gravitacional i força):
Longitud, temps
Magnituds primitives, a partir de les quals triem un sistema de referència. En mecánica clàssica, t és independent del sistema de referència, mentre que en mecànica relativista sí que en depèn.
Força
Magnitud primitiva, expressió matemàtica de la interacció entre cossos.
Massa inercial
Magnitud primitiva. Com hem descrit, és l’escalar que expressa una propietat de la partícula que caracteritza la inèrcia o resistència al canvi de velocitat i es pot mesurar en alguns casos per mitjà de l'equació (1).
Massa gravitacional
Magnitud primitiva. Es una altra propietat escalar de les partícules, que intervé en la llei de gravitació. La proporcionalitat (o igualtat, si es tria adequadament el sistema d'unitats) entre massa inercial i massa gravitacional és una conseqüència del principi d'equivalència. Observem que igualment podríem triar com a llei primitiva la igualtat de les masses inercial i gravitacional, i deduir-ne com a teorema el principi d’equivalència.
Sistema inercial
Concepte derivat. Es defineix com aquell que té l'origen en una partícula no sotmesa a forces i els eixos del qual no giren respecte a l'univers (respecte als estels fixos, de Newton).
Lleis de Newton del moviment
Lleis que descriuen la manera de moure's una partícula sotmesa a determinades forces, en un sistema inercial. La segona llei de Newton (F = dp/dt) és una llei primitiva, juntament amb la conservació de la quantitat de moviment. La primera i la tercera són teoremes.
Lleis de les forces
Les lleis de les forces (de la gravitació, de Coulomb, etc.) són lleis primitives la naturalesa.
Sistemes d'unitats
La unitat de longitud i de temps (metre i segon), es defineixen com es fa habitualment en els textos. La unitat de massa inercial es defineix com la massa inercial del quilo patró.
Per a definir la unitat de força, atés que hem definit aquesta com a mesura d’una interacció, caldria partir d'alguna de les lleis de les forces. Per exemple, a partir la llei de la gravitació universal, podríem definir la unitat de força com l'equivalent a 1/k multiplicat per la força a què es veuen sotmeses dues masses d'un quilogram separades per un metre de distància, de manera que k podria elegir-se lliurement. En aquest sistema, la llei de la gravitació universal s’expressaria com a F = kmGMG/r2 (on mG i MG serien les masses gravitacionals dels cossos). Fent, arbitràriament, k = 1, quedaria F = mGMG/r2.
En aquest sistema, la segona llei de Newton del moviment ens diria que l’acceleració que experimenta un cos es proporcional a la força resultant a què és sotmés; és a dir, F = k’ma (on m es la massa inercial del cos). Sabent que, segons les lleis de la física, la massa gravitacional és proporcional a la massa inercial, podem triar el sistema d’unitats de manera que la massa inercial i la massa gravitacional siguen numèricament iguals, és a dir, mG = m. Aleshores, un cos o partícula de massa m sotmés a l’atracció terrestre estaria sotmés a una força F = mM/r2 (on M és ara la massa de la Terra), i experimentaria una acceleració igual a g = F/k’m. Com que el valor de g podríem mesurar-lo de manera independent (per exemple, per mitjà d’un pèndol), podríem calcular experimentalment el valor de k’.
Històricament, es va procedir a l’inrevés. En el Sistema Internacional d’unitats, el valor de k’ es igual a 1. Per això, la segona llei de Newton pren la forma F = ma. Newton va formular la llei de gravitació amb la fórmula coneguda F = GmM/r2; però la igualtat entre massa inercial i massa gravitacional que aquesta formulació implicava només es va comprendre completament amb la formulació del principi d’equivalència dins de la teoria general de la relativitat d’Einstein. Només calia mesurar experimentalment el valor de la constant G, fet que va portar a terme poc més tard Cavendish.
Però siga quin siga la definició de les unitats o el sistema d'unitats triat, observem que força, massa inercial i massa gravitacional són magnituds independents. En el SI, atés que la segona llei de Newton pren la forma F = ma, podem definir la unitat de força (el newton) com la força que, aplicada a un objecte de massa 1 kg li produeix una acceleració d'1 m/s2. Però aquesta definició depén del sistema d'unitats triat, i no és obstacle perquè força i massa s'hagen de definir conceptualment de manera independent.
Trobem una situació és similar en la definició de la unitat de càrrega en el sistema cgs. En aquest sistema, la llei de Coulomb s'expressa com a F = qQ/r2, i la unitat de càrrega es defineix com a unitat derivada, en funció de les unitats de massa, longitud i temps. Això no impedeix que la càrrega puga ser considerada una magnitud conceptualment fonamental, per exemple, en el sistema MKSQ. També la unitat de massa podria definir-se com una unitat derivada, si partíssem de F = Mm/r2 (amb la constant k igual a 1), en termes de longitud i temps, en contrast amb la seua conceptualització habitual com a magnitud primitiva.
Cal distingir, doncs, entre dues dicotomies diferents. D'una banda, magnituds primitives (conceptualment independents) i derivades (definibles a partir d'aquestes), i d'una altra, unitats fonamentals (definides només a partir d’elements de la realitat, com el metre i el quilogram) i derivades (definibles a partir de les unitats fonamentals). La primera dicotomia depén de l'estructura de les lleis de la física, mentre que la segona depén només del sistema d'unitats triat. Així, la massa gravitacional i la força poden considerar-se magnituds primitives, però tenen unitats derivades en el sistema SI (1 newton és igual a 1 quilogram per un metre dividit per un segon al quadrat, mentre que el quilogram com a unitat de massa gravitacional és igual al quilogram com a unitat de massa inercial). La càrrega, magnitud primitiva, té unitats derivades en els sistemes cgs i SI (MKSA, on 1 coulomb és igual a un ampere per un segon), i només és unitat fonamental en el sistema MKSQ.
El fet que ens permet definir les unitats de massa gravitacional, de força i de càrrega com a derivades, tot i considerar-se magnituds primitives, és que hi ha lleis generals que les relacionen amb unitats fonamentals: F = ma, mG = m, q = It. En canvi, el metre i el segon són considerades unitats fonamentals (en tots els sistemes d'unitats) perquè no hi ha cap llei general que les relacione, sinó tan sols una propietat particular d'algun ens material (en aquest cas, la llum).
BIBLIOGRAFIA CITADA (no done algunes de les referències completes pel caràcter informal d’aquest escrit, i per ser suficientment conegudes pels estudiants i professionals de la física)
- Manuals usuals de física general (Finn-Alonso, Halliday i Resnick, Tipler, etc.).
- Symon, Mecánica, p. 11.
- Bunge, M. Controversias en física, cap. 1.
- Alemañ Belenguer, Rafael Andrés, et al.: “La axiomatización en la enseñanza secundaria: una opción didáctica”, Enseñanza de las Ciencias (Barcelona), 1999, 17 (2), p. 343-349.
- Hestenes, D.: “Foundations of Mechanics”, en New Foundations for Classical Mechanics, 1986 (http://ckw.phys.ncku.edu.tw/public/pub/Notes/Mathematics/Geometry/Hestenes/NFCM/Main.html).
No hay comentarios:
Publicar un comentario