El viatger de Langevin o la paradoxa dels bessons
A partir dels conceptes de duració pròpia i de duració impròpia, és fàcil entendre l'anomenada paradoxa dels bessons o paradoxa del viatger de Langevin. Un jove astronauta emprèn un llarg viatge a una velocitat constant pròxima a la de la llum cap a un estel pròxim, i deixa el seu germà bessó a la Terra com a testimoni del viatge. El viatge, cronometrat des de la nau espacial (sistema inercial), dura 10 anys (duració pròpia, ja que els esdeveniments que s'esdevenen dins la nau són copuntuals en el sistema de la nau); però cronometrat des de la Terra, com que la nau es desplaça respecte a la Terra, es tracta d'una duració impròpia, major que la pròpia. Per tant, cronometrat des de la Terra, el viatge dura més; per exemple, 30 anys. El viatge de regrés dura, igualment, altres 10 anys mesurats des de la nau (un altre sistema de referència inercial, però distint del de la nau a l'anada), i uns altres 30 anys mesurats en la Terra. Si menyspreem la duració de les acceleracions i de les frenades, el viatge total dura 20 anys en la nau i 60 anys en la Terra. Al regrés de l'astronauta, aquest serà un home madur, però el seu germà bessó, que ha quedat a la Terra, serà un ancià.
Podria argumentar-se, però, que, segons el principi de relativitat, el paper de l'astronauta i del testimoni serien intercanviables, que és la Terra la que viatja respecte a la nau i que hauria de ser el testimoni qui envellís menys que l'astronauta. La situació, però, no és simètrica: la nau és accelerada a l’inici del viatge, i després també experimenta acceleracions quan dóna la volta i inicia el viatge de regrés, mentre que la Terra no experimenta cap acceleració. Si no tenim en compte els temps invertits en les acceleracions i frenades (aproximació que podem fer si el viatge és suficientment llarg), podem utilitzar la relativitat especial i considerar que el viatge d'anada i tornada de la nau es realitza en dos sistemes de referència inercials diferents, mentre que la Terra constitueix un únic sistema de referència inercial. Si fem els càlculs del temps que correspon als tres sistemes implicats, arribarem a la conclusió mencionada: el viatger envelleix menys que el testimoni. Si, a més, si considerem els efectes de l'acceleració (per exemple, podríem fer que la nau accelerés suaument durant la meitat del viatge d'anada i frenés també suaument durant l'altra meitat, i igualment en el viatge de tornada) el resultat seria, qualitativament, semblant; aleshores es tractaria de sistemes accelerats i no podríem aplicar la relativitat especial. Però com veurem més avant, aplicant el principi d'equivalència l'acceleració seria equivalent a l'acció d'un camp gravitatori, i, segons la relativitat general, la mesura del temps per rellotges en presència de camps gravitatoris s’alenteix també; per tant, en el sistema acceletat de la nau passaria menys temps que a la Terra, i l'astronauta envelliria menys que el seu germà bessó testimoni. De fet, el temps propi invertit per la nau seguint qualsevol trajectòria corba (i, per tant, accelerada) fins a tornar al punt de partida en la Terra és menor que el temps impropi mesurat segons un sistema inercial no accelerat (p. ex., el sistema en repòs sobre la Terra).
Un altre efecte espectacular de la relativitat, relacionat amb la paradoxa dels bessons, és la possibilitat de realitzar viatges interestel·lars. Si fossem capaços de construir naus espacials que viatgessen a velocitats pròximes a la de la llum, podríem cobrir les distàncies entre els estels (i fins i tot, entre les galàxies), en un temps relativament curt, compatible amb la duració d'una vida humana. Per exemple, en una nau que viatgés a una velocitat de 0,995c, el viatge d'anada i tornada cap a un estel distant 30 anys llum duraria, vist des de la Terra, un poc més de 60 anys. Tanmateix, aquesta seria la duració impròpia, mesurada des de la Terra. La duració del viatge d'anada i tornada en el sistema de la nau (duració pròpia) seria de poc més de 6 anys.
Aquest efecte es pot analitzar també com a conseqüència de la contracció de la longitud. En efecte, des del punt de vista dels astronautes, aquests realitzen el viatge cap a l'estel a una velocitat quasi igual a la de la llum en un temps propi de 6 anys, ja que el segment Terra-estel, de 30 anys llum en el sistema Terra (distància pròpia, ja que el segment és fix en aquest sistema) queda contret a 6 anys llum en el sistema de la nau (distància impròpia) a conseqüència del moviment relatiu entre la nau i el segment.
Equivalència entre massa i energia
Redefinint adequadament els conceptes de la dinàmica, Einstein demostrà que la massa d'un cos augmenta amb la velocitat fent-se infinita a la velocitat de la llum, la qual cosa imposa un límit, el de la velocitat de la llum, a les velocitats a què és possible accelerar físicament qualsevol objecte material. Les velocitats possibles en un cos amb massa en repòs positiva són sempre inferiors a la de la llum, mentre que les partícules que viatgen a la velocitat de la llum (p. ex., els fotons, quàntums de la radiació electromagnètica) han de tenir massa nul·la.
Cal aclarir, però, que la relativitat no descarta la possibilitat d'existència de partícules que viatgen a velocitat superior a la de la llum. Aquestes eventuals partícules, anomenades taquions, haurien de viatjar sempre a velocitat superior a la de la llum i tenir massa negativa. Tanmateix, els taquions plantejarien greus problemes lògics, ja que violarien el principi de causalitat, segons el qual les causes són posteriors en el temps als efectes: en un partit de tennis jugat amb taquions en compte de boles normals, si el contrari fes un moviment de retrocés en el moment de colpejar la bola-taquió, rebríem la bola-taquió restada abans d'efectuar el servei. Per això, mai no ha estat detectat cap taquió, i els físics pensen que no existeixen en la realitat.
D'altra banda, Einstein descobrí que l'energia d'un cos en repòs no és nul·la, sinó que posseeix una energia deguda a la massa, i deduí la famosa equació que expressa l'equivalència entre massa i energia: E = mc2. La massa i l'energia són, doncs, equivalents i intercanviables; són dues manifestacions de la matèria. Les lleis clàssiques de la conservació de l'energia i de la conservació de la massa són substituïdes per una única llei de conservació de la massa-energia.
La concordança entre la teoria especial de la relativitat i els experiments és completa. La teoria de la relativitat explica de manera natural l'experiment de Michelson-Morley, i concorda amb tots els fenòmens coneguts de la propagació de la llum. Els efectes relativistics han estat comprovats en nombrosos experiments en el camp de les partícules elementals, en què aquestes són accelerades a velocitats pròximes a la de la llum, i també en les observacións dels raigs còsmics, en què les partícules inestables que es produeixen en entrar aquests raigs en l'atmosfera poden arribar a la superfície terrestre, per l’efecte de la dilatació del temps, abans de desintegrar-se. D'altra banda, la relació entre massa i energia es troba en la base de tots els fenòmens relacionats amb la fusió i la fissió nuclear, fenòmens que expliquen l'origen de l'energia dels estels com el Sol i que es troben en la base de l'energia atòmica.
Tanmateix, no es pot considerar que la teoria de la relativitat haja desplaçat la mecànica clàssica. Aquesta apareix com a cas límit en les equacions de la relativitat, i és aplicable com una bona aproximació quan la velocitat relativa entre els observadors és molt petita comparada amb la velocitat de la llum. Els efectes relativístics només es fan importants quan ens acostem a la velocitat de la llum; aleshores no es poden aplicar les fórmules clàssiques, sinó les relativistes.
L'espaitemps de Minkowski
El matemàtic Hermann Minkowski, que havia estat professor d'Einstein, desenvolupà el 1908 i publicà el 1909 una formulació matemàtica de la teoria de la relativitat especial amb una descripció geomètrica en quatre dimensions. D'aquesta manera, l'espai i el temps quedaven fosos en una entitat tetradimensional, l'espaitemps. Cada punt de l'espaitemps és un succés definit, en un sistema de referència determinat per un observador inercial, per les coordenades espacials ordinaries x, y, z i el terme -ct com a quarta dimensió. El contínuum tetradimensional de l'espaitemps és comú per a tots els observadors en moviment relatiu, però per a cada observador incercial hi ha una projecció temporal unidimensional formada per tots els successos copuntuals amb l'observador, i una projecció espacial tridimensional formada, en cada moment, pels successos que són simultanis a un succés determinat. Cada projecció espacial o temporal és diferent per als diversos observadors, ja que els conceptes de copuntualitat i de simultaneïtat a distància són relatius a l'observador.
No és possible representar gràficament ni visualitzar l'espaitemps de quatre dimensions. Però és possible donar-ne una representació gràfica si eliminem una o dues de les dimensions espacials. Això és possible si suposem que el moviment en l'espai es redueix a una dimensió (o, en tot cas, a dues). Es pot representar, doncs, en un diagrama d'eixos cartesians una dimensió espacial com a eix X i la dimensió temporal ct (sense signe) com a eix Y (i, en tot cas, en perspectiva, una altra dimensió espacial com a eix Y, i en aquest cas la temporal com a eix Z). Si es trien convenientment les unitats gràfiques, es pot representar com si fos c = 1, i alsehores les unitats espacials seran representades amb una longitud igual a les temporals. Obtenim així un diagrama espai-temps o diagrama de Minkowski.
Un succés és representat, doncs, com un punt en un diagrama de Minkowski. La trajectòria d'una partícula en l'espaitemps de quatre dimensions és anomenada línia de món, i apareix en un diagrama de Minkiwski com una línia (recta si el moviment és rectilini uniforme i corba si no ho és). Són especialment interessants les línies de món dels raigs de llum, que resulten ser rectes inclinades 45º respecte als eixos. Aquestes línies delimiten els anomenats cons de llum (en la representació de l'espai amb dues dimensions en perspectiva) a partir d'un punt o succés de l'espaitemps. Una partícula real no pot moure's més ràpidament que la llum, per la qual cosa, la seua línia de món ha de romandre dins del con de llum a partir de cada punt de la trajectòria.
Els efectes relativistes, com la dilatació del temps i la contracció de la longitud, es visualitzen així com a simples projeccions o diferències de perspectiva en l'espaitemps tetradimensional degudes al moviment relatiu, en relació amb uns altres eixos que representen el nou sistema de referència. Per tant, la relativitat espacial supera els conceptes d'espai i temps absolut, però manté l'espaitemps com a ens tetradimensional absolut, respecte al qual es mesuren les acceleracions de manera absoluta.
En l'espaitemps es defineix una mètrica segons la qual tot succés és definit, com hem vist, per quatre paràmetres, tres d'espacials i un de temporal; es pot definir un interval entre dos successos anomenat també extensió, que és un invariant per a tots els observadors. L'expressió del quadrat d'aquest interval és s2 = x2 + y2 + z2 - c2t2, sent x, y, z i t els valors de les cordenades espacials i del temps per al segon succés mesurades per un observador quaalsevol, prenent els origens de cordenades espacials i de temps en el primer succés. El valor de l'interval serà igual per a tots els observadors, independentment de les mesures particulars que cadascun faça de x, y, z i t. Si observem que x2 + y2 +z2 = d2, quadrat de la distància espacial d, l'expressió del quadrat de l'interval serà s2 = d2 - c2t2.
La relació entre qualsevol parell de successos pot ser de tres tipus:
1. Si els dos successos són relacionats per un raig de llum, la distància de separació espacial serà d = ct, i per tant el valor de l'interval serà zero.
2. Si la separació espacial d és major que ct, aleshores cap raig de llum no pot unir ambdós successos; no es pot trasmetre cap informació entre l'un i l'altre i entre ambdós no pot haver-hi cap relació causal. No pot haver-hi cap sistema de referència en què ambdós successos siguen copuntuals, i, en general, observadors diferents no es posaran d'acord sobre l'ordre temporal entre els dos successos. Però sí que hi haurà un observador per al qual ambdós successos seran simultanis (per a aquest observador, t = 0), i si ds és la distància entre ambdós successos per a aquest observador, serà s = ds. Es diu que aquest parell de successos es troben separats espacialment, i el valor de l'interval és positiu i equival precisament a la distància espacial mesurada en el sistema en què ambdós successos són simultanis.
3. Si la separació espacial d és menor que ct, aleshores un raig de llum pot unir ambdós successos; es pot trasmetre informació entre l'un i l'altre i entre ambdós pot haver-hi una relació causal. No pot haver-hi cap sistema de referència en què ambdós successos siguen simultanis, i, en general, observadors diferents no es posaran d'acord sobre l'ordre espacial entre els dos successos. Però si que hi haurà un observador per al qual ambdós successos seran copuntuals (per a aquest observador, d = 0), i si tc és el temps propi entre els dos successos en aquest sistema de copuntualitat, serà precisament s = -ctc. Es diu que aquest parell de successos es troben separats temporalment, i el valor de l'interval és negatiu i equival en mòdul precisament a la distància temporal mesurada en el sistema en què ambdós successos són copuntuals, multiplicada per la velocitat de la llum.
Cal aclarir que hi ha altres maneres lleugerament diferents de definir l'interval, i de fet es defineix de diverses maneres en la literatura científica (amb eventuals canvis de signe o amb algun factor addicional). Però les conseqüències físiques de totes aquestes definicions són les mateixes.
En la pròxima entrada farem una petita introducció divulgativa a la teoria general de la relativitat, per a continuar en entrades posteriors amb algunes conseqüències d’aquesta, com els forats negres, els forats de cuc i la possibilitat de viatjar en el temps.
No hay comentarios:
Publicar un comentario